Explique a relação entre o posto de uma matriz ampliada e a existência de soluções para um sistema linear. Inclua uma discussão sobre os casos em que o sistema é possível determinado, possível indeterminado e impossível, utilizando exemplos concretos.

Passo 1

Estamos estudando como o posto (rank) da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada de um sistema linear determina se ele tem solução, se é único ou se não existe solução. Vamos precisar dos conceitos de posto de matriz e da condição de compatibilidade de sistemas:
– Se \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b]), o sistema é possível.
– Se \mathrm{rank}(A)<\mathrm{rank}([A\mid b]), o sistema é impossível.
E, no caso possível, com n incógnitas:
• se \mathrm{rank}(A)=n, solução única (determinado);
• se \mathrm{rank}(A)<n, infinitas soluções (indeterminado).

Passo 2

Definimos a matriz de coeficientes A e o vetor termo-independente b. A matriz ampliada é [A\mid b]. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. A relação entre postos decide a existência de soluções:
– Consistência: \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b]).
– Inconsistência: \mathrm{rank}(A)<\mathrm{rank}([A\mid b]).

Passo 3

Exemplo de sistema possível determinado (solução única).
Considere
\begin{cases} x + y = 2,\\\ x - y = 0. \end{cases}
A matriz de coeficientes e o vetor b são
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}2\\\ 0\end{pmatrix}.
Calculamos \mathrm{rank}(A)=2 porque suas duas colunas são independentes. A matriz ampliada
[A\mid b] =\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\\ 1 & -1 & 0\end{pmatrix}
também tem posto 2. Como n=2, \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])=n, há exatamente uma solução. De fato, somando as equações obtemos 2x=2, x=1, e então y=1.

Passo 4

Exemplo de sistema possível indeterminado (infinitas soluções).
Considere
x + y = 2
sozinha, com duas incógnitas x,y. Aqui
A=\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}.
Temos \mathrm{rank}(A)=1. A matriz ampliada
[A\mid b]=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\end{pmatrix}
também tem posto 1. Mas n=2 e \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])<n. Logo há infinitas soluções. Podemos, por exemplo, escrever y=t e x=2-t, para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Exemplo de sistema impossível (sem solução).
Considere
\begin{cases} x + y = 2,\\\ x + y = 3. \end{cases}
A matriz de coeficientes é
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix},
então \mathrm{rank}(A)=1 (as duas linhas são iguais). A matriz ampliada
[A\mid b] =\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix}
tem posto 2, porque a última coluna não está na combinação linear das duas primeiras. Assim \mathrm{rank}(A)<\mathrm{rank}([A\mid b]) e o sistema não tem solução.

Resposta

A compatibilidade de um sistema linear é determinada pela comparação dos postos de A e [A\mid b]: \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b]) ⇒ sistema possível; \mathrm{rank}(A)<\mathrm{rank}([A\mid b]) ⇒ sistema impossível.
No caso possível, se o posto é igual ao número de incógnitas, há solução única (determinado); se o posto é menor, há infinitas soluções (indeterminado).

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