Explique a relação entre o posto de uma matriz ampliada e a existência de soluções para um sistema linear. Inclua uma discussão sobre os casos em que o sistema é possível determinado, possível indeterminado e impossível, utilizando exemplos concretos.
Passo 1
Estamos estudando como o posto (rank) da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada de um sistema linear determina se ele tem solução, se é único ou se não existe solução. Vamos precisar dos conceitos de posto de matriz e da condição de compatibilidade de sistemas:
– Se , o sistema é possível.
– Se , o sistema é impossível.
E, no caso possível, com incógnitas:
• se , solução única (determinado);
• se , infinitas soluções (indeterminado).
– Se
– Se
E, no caso possível, com
• se
• se
Passo 2
Definimos a matriz de coeficientes
e o vetor termo-independente
. A matriz ampliada é
. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. A relação entre postos decide a existência de soluções:
– Consistência: .
– Inconsistência: .
– Consistência:
– Inconsistência:
Passo 3
Exemplo de sistema possível determinado (solução única).
Considere
Considere
A matriz de coeficientes e o vetor
são
Calculamos
porque suas duas colunas são independentes. A matriz ampliada
também tem posto 2. Como
,
, há exatamente uma solução. De fato, somando as equações obtemos
,
, e então
.
Passo 4
Exemplo de sistema possível indeterminado (infinitas soluções).
Considere
Considere
sozinha, com duas incógnitas
. Aqui
Temos
. A matriz ampliada
também tem posto 1. Mas
e
. Logo há infinitas soluções. Podemos, por exemplo, escrever
e
, para todo
.
Passo 5
Exemplo de sistema impossível (sem solução).
Considere
Considere
A matriz de coeficientes é
então
(as duas linhas são iguais). A matriz ampliada
tem posto 2, porque a última coluna não está na combinação linear das duas primeiras. Assim
e o sistema não tem solução.
Resposta
A compatibilidade de um sistema linear é determinada pela comparação dos postos de
e
:
⇒ sistema possível;
⇒ sistema impossível.
No caso possível, se o posto é igual ao número de incógnitas, há solução única (determinado); se o posto é menor, há infinitas soluções (indeterminado).
No caso possível, se o posto é igual ao número de incógnitas, há solução única (determinado); se o posto é menor, há infinitas soluções (indeterminado).