Duas cargas pontuais positivas e de mesma intensidade são colocadas nas posições x=0 e x=d. Uma terceira carga positiva é colocada no plano.
(a) Determine a posição de equilíbrio da terceira carga.
Estabilidade do equilíbrio
(b) O equilíbrio é estável se a carga estiver restrita a se mover paralelamente ao eixo x ?
(c) O equilíbrio é estável se a carga estiver restrita a se mover paralelamente ao eixo y ?
Justifique cuidadosamente suas respostas.
(d) No caso em que o equilíbrio é estável, mostre que pequenos deslocamentos em torno da posição de equilíbrio resultam em movimento harmônico simples e determine a frequência angular das oscilações.
Dica: para deslocamentos r_{0} \ll d, expanda a força resultante em torno do equilíbrio e mantenha apenas termos de primeira ordem. Pode ser útil usar
Dica adicional: um movimento harmônico simples ocorre quando a força resultante pode ser escrita na forma da lei de Hook
F=-k x
onde k>0 é constante.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas indicadas:
Duas cargas pontuais, positivas e de mesma intensidade, estão fixas nas posições (0,0) e (d,0). Vou denotar cada uma por q>0.
Uma terceira carga pontual, também positiva, de intensidade Q>0 e massa m (massa do corpo carregado, necessária para a parte (d)) é colocada no plano em uma posição arbitrária (x,y).
Perguntas:
(a) Determinar a(s) posição(ões) de equilíbrio da terceira carga (ou seja, pontos onde a força resultante é nula).
(b) Se a carga estiver restringida a mover-se apenas paralelo ao eixo x, esse equilíbrio é estável?
(c) Se a carga estiver restringida a mover-se apenas paralelo ao eixo y, esse equilíbrio é estável?
(d) No caso em que o equilíbrio for estável, mostrar que pequenos deslocamentos resultam em movimento harmônico simples e determinar a frequência angular das oscilações (usar linearização para pequenos deslocamentos).
Passo 2
Lembrete rápido sobre força eletrostática e como vamos usar:
A força elétrica entre duas cargas puntiformes é dada pela lei de Coulomb. Para uma carga de prova Q em presença de uma carga fixa q localizada em um ponto, a força vetorial exercida por q sobre Q é
\mathbf{F} = k_e \, q Q \frac{\mathbf{r}}{r^{3}},
onde k_e=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática, \mathbf{r} é o vetor que vai da carga fixa até a carga de prova e r=\lVert\mathbf{r}\rVert. O sinal (direção) da força segue a direção de \mathbf{r} para repulsão se ambas positivas (a força aponta para longe da carga fixa).
Para achar equilíbrio somamos vetorialmente as forças vindas das duas cargas fixas e pedimos que a soma seja \mathbf{0}.
Para estudar estabilidade linearizamos (fazemos expansão em série) a força resultante em torno da posição de equilíbrio e mantemos termos de primeira ordem nos pequenos deslocamentos.
Passo 3
Escrever a força resultante em termos das coordenadas (x,y) do ponto onde a terceira carga está.
Distâncias e vetores:
Vetor do carregador em (0,0) até (x,y) é \mathbf{r}_1=(x,y) com \;r_1=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Vetor do carregador em (d,0) até (x,y) é \mathbf{r}_2=(x-d,y) com \;r_2=\sqrt{(x-d)^{2}+y^{2}}.
Os fatores dentro dos parênteses são positivos para quaisquer x,y. Logo F_y=0 se, e só se, y=0. Portanto qualquer equilíbrio deve ter y=0 (situação intuitiva: se y\neq0 as componentes verticais das repulsões não se anulam e empurram a carga para longe).
No eixo real isso implica x=\dfrac{d}{2} (o ponto médio) ou pontos simetricamente distantes, mas verificando sinais e posições, o único ponto no plano que satisfaz simultaneamente as equações é
\left(\frac{d}{2},0\right).
Conclusão: a única posição de equilíbrio finita (diferente de estar sobre as cargas) é o ponto médio entre as duas cargas fixas:
\boxed{\text{equilíbrio em } \left(\dfrac{d}{2},0\right).}
Passo 5
Como estudar estabilidade: vamos examinar pequenos deslocamentos em torno de \left(\dfrac{d}{2},0\right).
Denoto a=\dfrac{d}{2} e escrevo um deslocamento pequeno paralelo a x como x=a+\xi com |\xi|\ll a, e um deslocamento pequeno paralelo a y como y=\eta com |\eta|\ll a.
Linearizar significa expandir F_x e F_y em potência de \xi,\eta e manter apenas termos de primeira ordem. Se a componente correspondente da força linearizada for -K\xi com K>0 então é restauradora (estável) e dá SHO; se for +C\xi com C>0 então é antirrestauradora (instável).
Passo 6
Estabilidade para movimentos paralelos ao eixo x (fixando y=0, deslocamento x=a+\xi).
Expressão exata ao longo do eixo x (com y=0) para a força resultante na direção x é
Mantendo apenas termos de primeira ordem em \eta (note que a correção acima é de ordem \eta^{2}), chegamos diretamente a
F_y \approx 2k_e qQ\,\frac{\eta}{a^{3}}.
Observação importante: o termo linear em \eta tem coeficiente positivo: F_y \approx +\dfrac{2k_e qQ}{a^{3}}\eta. Assim, se \eta>0 (pequeno deslocamento para cima) a força vertical é positiva (aponta para cima) — empurra ainda mais para cima; se \eta<0 a força aponta ainda mais para baixo. Isso é instabilidade (não há força restauradora).
Conclusão: o equilíbrio é instável se a carga pode mover-se apenas paralelo ao eixo y.
Passo 8
Movimento harmônico simples e frequência angular (parte (d)).
Quando a mobilidade é apenas ao longo do eixo x, já mostramos que para deslocamentos pequenos \xi a força é linear e restauradora:
F_x\approx -K\xi,\qquad K=\frac{32k_e qQ}{d^{3}}.
Pela segunda lei de Newton, m\ddot{\xi}=F_x, obtemos a equação
m\ddot{\xi} = -K\xi,
que é a equação do movimento harmônico simples. Portanto as pequenas oscilações são harmônicas.
(a) \displaystyle \left(\frac{d}{2},0\right)
(b) Sim — estável para movimento paralelo ao eixo x.
(c) Não — instável para movimento paralelo ao eixo y.
(d) Para deslocamentos ao longo de x há MHS com