Duas cargas pontuais positivas e de mesma intensidade são colocadas nas posições x=0 e x=d. Uma terceira carga positiva é colocada no plano.
(a) Determine a posição de equilíbrio da terceira carga.

Estabilidade do equilíbrio

(b) O equilíbrio é estável se a carga estiver restrita a se mover paralelamente ao eixo x ?
(c) O equilíbrio é estável se a carga estiver restrita a se mover paralelamente ao eixo y ?
Justifique cuidadosamente suas respostas.
(d) No caso em que o equilíbrio é estável, mostre que pequenos deslocamentos em torno da posição de equilíbrio resultam em movimento harmônico simples e determine a frequência angular das oscilações.
Dica: para deslocamentos r_{0} \ll d, expanda a força resultante em torno do equilíbrio e mantenha apenas termos de primeira ordem. Pode ser útil usar
(1+\varepsilon)^{-3 / 2} \approx 1-\frac{3}{2} \varepsilon, \quad|\varepsilon| \ll 1 .
Dica adicional: um movimento harmônico simples ocorre quando a força resultante pode ser escrita na forma da lei de Hook
F=-k x
onde k>0 é constante.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas indicadas:
  • Duas cargas pontuais, positivas e de mesma intensidade, estão fixas nas posições (0,0) e (d,0). Vou denotar cada uma por q>0.
  • Uma terceira carga pontual, também positiva, de intensidade Q>0 e massa m (massa do corpo carregado, necessária para a parte (d)) é colocada no plano em uma posição arbitrária (x,y).
  • Perguntas:
    (a) Determinar a(s) posição(ões) de equilíbrio da terceira carga (ou seja, pontos onde a força resultante é nula).
    (b) Se a carga estiver restringida a mover-se apenas paralelo ao eixo x, esse equilíbrio é estável?
    (c) Se a carga estiver restringida a mover-se apenas paralelo ao eixo y, esse equilíbrio é estável?
    (d) No caso em que o equilíbrio for estável, mostrar que pequenos deslocamentos resultam em movimento harmônico simples e determinar a frequência angular das oscilações (usar linearização para pequenos deslocamentos).

Passo 2

Lembrete rápido sobre força eletrostática e como vamos usar:
  • A força elétrica entre duas cargas puntiformes é dada pela lei de Coulomb. Para uma carga de prova Q em presença de uma carga fixa q localizada em um ponto, a força vetorial exercida por q sobre Q é
\mathbf{F} = k_e \, q Q \frac{\mathbf{r}}{r^{3}},
onde k_e=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática, \mathbf{r} é o vetor que vai da carga fixa até a carga de prova e r=\lVert\mathbf{r}\rVert. O sinal (direção) da força segue a direção de \mathbf{r} para repulsão se ambas positivas (a força aponta para longe da carga fixa).
  • Para achar equilíbrio somamos vetorialmente as forças vindas das duas cargas fixas e pedimos que a soma seja \mathbf{0}.
  • Para estudar estabilidade linearizamos (fazemos expansão em série) a força resultante em torno da posição de equilíbrio e mantemos termos de primeira ordem nos pequenos deslocamentos.

Passo 3

Escrever a força resultante em termos das coordenadas (x,y) do ponto onde a terceira carga está.
  • Distâncias e vetores:
    • Vetor do carregador em (0,0) até (x,y) é \mathbf{r}_1=(x,y) com \;r_1=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
    • Vetor do carregador em (d,0) até (x,y) é \mathbf{r}_2=(x-d,y) com \;r_2=\sqrt{(x-d)^{2}+y^{2}}.
  • Forças das cargas fixas sobre Q:
    • Força da carga em (0,0):
    \mathbf{F}_1 = k_e\, qQ \frac{(x,y)}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}}.
    • Força da carga em (d,0):
    \mathbf{F}_2 = k_e\, qQ \frac{(x-d,y)}{\bigl((x-d)^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}}.
  • Força resultante:
\mathbf{F}=\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2=(F_x,F_y),
com componentes
F_x = k_e qQ\left(\frac{x}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}+\frac{x-d}{\bigl((x-d)^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}}\right),
F_y = k_e qQ\left(\frac{y}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}+\frac{y}{\bigl((x-d)^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}}\right).

Passo 4

Determinar as posições de equilíbrio: resolver \mathbf{F}=\mathbf{0}, ou seja F_x=0 e F_y=0.
  • Olhando para F_y:
F_y = k_e qQ\, y\left(\frac{1}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}+\frac{1}{\bigl((x-d)^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}}\right).
Os fatores dentro dos parênteses são positivos para quaisquer x,y. Logo F_y=0 se, e só se, y=0. Portanto qualquer equilíbrio deve ter y=0 (situação intuitiva: se y\neq0 as componentes verticais das repulsões não se anulam e empurram a carga para longe).
  • Com y=0, a expressão de F_x simplifica para
F_x = k_e qQ\left(\frac{x}{|x|^{3}}+\frac{x-d}{|x-d|^{3}}\right).
Restrito ao segmento real entre as cargas (ou fora), a equação F_x=0 fica, para pontos não coincidentes com as cargas,
\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{(d-x)^{2}} \quad\Longrightarrow\quad |x|=|d-x|.
No eixo real isso implica x=\dfrac{d}{2} (o ponto médio) ou pontos simetricamente distantes, mas verificando sinais e posições, o único ponto no plano que satisfaz simultaneamente as equações é
\left(\frac{d}{2},0\right).
Conclusão: a única posição de equilíbrio finita (diferente de estar sobre as cargas) é o ponto médio entre as duas cargas fixas:
\boxed{\text{equilíbrio em } \left(\dfrac{d}{2},0\right).}í

Passo 5

Como estudar estabilidade: vamos examinar pequenos deslocamentos em torno de \left(\dfrac{d}{2},0\right).
  • Denoto a=\dfrac{d}{2} e escrevo um deslocamento pequeno paralelo a x como x=a+\xi com |\xi|\ll a, e um deslocamento pequeno paralelo a y como y=\eta com |\eta|\ll a.
  • Linearizar significa expandir F_x e F_y em potência de \xi,\eta e manter apenas termos de primeira ordem. Se a componente correspondente da força linearizada for -K\xi com K>0 então é restauradora (estável) e dá SHO; se for +C\xi com C>0 então é antirrestauradora (instável).

Passo 6

Estabilidade para movimentos paralelos ao eixo x (fixando y=0, deslocamento x=a+\xi).
  • Expressão exata ao longo do eixo x (com y=0) para a força resultante na direção x é
F_x(x)=k_e qQ\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(d-x)^{2}}\right).
  • Avaliando e fazendo linearização em x=a+\xi:
    calcular a derivada em x=a:
\left.\frac{dF_x}{dx}\right|_{x=a} = k_e qQ\left(-\frac{2}{a^{3}}-\frac{2}{(d-a)^{3}}\right).
Mas como d-a=a, isto é
\left.\frac{dF_x}{dx}\right|_{x=a} = k_e qQ\left(-\frac{2}{a^{3}}-\frac{2}{a^{3}}\right)=-\frac{4k_e qQ}{a^{3}}.
Portanto, para deslocamento pequeno \xi,
F_x \approx \left.\frac{dF_x}{dx}\right|_{x=a}\xi = -\frac{4k_e qQ}{a^{3}}\,\xi.
  • Isto é da forma F_x=-K\xi com
K=\frac{4k_e qQ}{a^{3}}.
Como k_e,q,Q,a são positivos, K>0: a força é restauradora. Conclusão: o equilíbrio é estável se o movimento estiver restrito ao eixo x.
  • Substituindo a=d/2 para escrever K em função de d:
a^{3}=\left(\frac{d}{2}\right)^{3}=\frac{d^{3}}{8}\quad\Rightarrow\quad K=\frac{4k_e qQ}{d^{3}/8}=\frac{32k_e qQ}{d^{3}}.

Passo 7

Estabilidade para movimentos paralelos ao eixo y (fixando x=a, deslocamento y=\eta).
  • A componente vertical total, para x=a, é (veja expressão do Passo 3)
F_y(a,\eta)=k_e qQ\left(\frac{\eta}{(a^{2}+\eta^{2})^{3/2}}+\frac{\eta}{(a^{2}+\eta^{2})^{3/2}}\right) =2k_e qQ\,\frac{\eta}{(a^{2}+\eta^{2})^{3/2}}.
  • Para |\eta|\ll a podemos linearizar. Usando a dica (ou expandindo),
(a^{2}+\eta^{2})^{-3/2}=a^{-3}\left(1+\frac{\eta^{2}}{a^{2}}\right)^{-3/2}\approx a^{-3}\left(1-\frac{3}{2}\frac{\eta^{2}}{a^{2}}\right).
Mantendo apenas termos de primeira ordem em \eta (note que a correção acima é de ordem \eta^{2}), chegamos diretamente a
F_y \approx 2k_e qQ\,\frac{\eta}{a^{3}}.
  • Observação importante: o termo linear em \eta tem coeficiente positivo: F_y \approx +\dfrac{2k_e qQ}{a^{3}}\eta. Assim, se \eta>0 (pequeno deslocamento para cima) a força vertical é positiva (aponta para cima) — empurra ainda mais para cima; se \eta<0 a força aponta ainda mais para baixo. Isso é instabilidade (não há força restauradora).
  • Conclusão: o equilíbrio é instável se a carga pode mover-se apenas paralelo ao eixo y.

Passo 8

Movimento harmônico simples e frequência angular (parte (d)).
  • Quando a mobilidade é apenas ao longo do eixo x, já mostramos que para deslocamentos pequenos \xi a força é linear e restauradora:
F_x\approx -K\xi,\qquad K=\frac{32k_e qQ}{d^{3}}.
  • Pela segunda lei de Newton, m\ddot{\xi}=F_x, obtemos a equação
m\ddot{\xi} = -K\xi,
que é a equação do movimento harmônico simples. Portanto as pequenas oscilações são harmônicas.
  • A frequência angular é
\omega=\sqrt{\frac{K}{m}}=\sqrt{\frac{32\,k_e\,q\,Q}{m\,d^{3}}}.
(Se desejar, substituir k_e=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}.)

Resposta

(a) \displaystyle \left(\frac{d}{2},0\right)
(b) Sim — estável para movimento paralelo ao eixo x.
(c) Não — instável para movimento paralelo ao eixo y.
(d) Para deslocamentos ao longo de x há MHS com
\omega=\sqrt{\dfrac{32\,k_e\,q\,Q}{m\,d^{3}}}.

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