Descreva o movimento de uma partícula com posição (x, y) quando t varia no intervalo dado.
x=2+sen t, y=1+3 cos t, pi / 2 <= t <= 2 pi

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização de uma partícula em função do tempo t:
x=2+sin t, y=1+3cos t,
com t variando em pi/2<= t<=2pi. O conteúdo é curvas parametrizadas e geometria analítica — vamos identificar que curva é, achar posição inicial e final, e descrever o sentido do movimento.

Passo 2

Para ver que curva essa parametrização descreve, eliminamos o parâmetro t. De sin t=(x-2) e cos t=(y-1)/3 usamos sin^2t+cos^2t=1. Logo,
(x-2)^2+l(tfracy-13r)^2=1,
que é uma elipse de centro em (2,1), semi-eixo maior vertical de comprimento 3 e semi-eixo menor horizontal de comprimento 1.

Passo 3

Agora achamos as posições inicial ( t=pi/2) e final ( t=2pi):
t=tfracpi2: x=2+sinl(tfracpi2r)=3, y=1+3cosl(tfracpi2r)=1,
portanto ponto inicial (3,1).
t=2pi: x=2+sin(2pi)=2, y=1+3cos(2pi)=4,
portanto ponto final (2,4).

Passo 4

Para ver o sentido do percurso, observamos como mudam sin t e cos t no intervalo. Em t=pi/2 estamos no ponto direito (3,1). Ao aumentar t, sin t decresce e cos t fica negativa, levando a trajetória para baixo e depois para a esquerda, chegando em t=3pi/2 ao ponto esquerdo (1,1) e finalmente subindo até o topo (2,4) em t=2pi. Isso corresponde a um movimento no sentido horário ao redor da elipse.

Resposta

A partícula descreve uma elipse de centro em (2,1), com semi-eixo horizontal 1 e vertical 3, iniciando em (3,1) quando t=pi/2, terminando em (2,4) quando t=2pi, e percorre essa elipse no sentido horário.

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