Prove que a solução geral em
do sistema
é dada por
X=c1(c 6 -1 -5 ) e^-t+c2(c -3 1 1 ) e^-2 t+c3(l 2 1 1 ) e^3 t
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo em
R^3
e pede a solução geral. Para sistemas lineares constantes a técnica é encontrar os valores próprios
lambda de
A e seus vetores próprios
v , pois cada modo
e^lambda tv gera uma solução e a combinação linear desses modos é a solução geral.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
A :
Logo a equação característica é
Passo 3
Testando raízes inteiras, vemos que
lambda=3 satisfaz
27-21-6=0 . Fazendo divisão sintética ou fatoração,
Portanto os valores próprios são
Passo 4
Para cada
lambdai , resolvemos
(A-lambdai I)v=0 :
Para
lambda1=3 ,
da primeira linha
-3x+6y=0Rightarrow x=2y , da terceira
x+y-3z=0Rightarrow2y+y-3z=0Rightarrow z=y . Assim
Para
lambda2=-2 ,
da primeira linha
2x+6y=0Rightarrow x=-3y , da terceira
-3y+y+2z=0Rightarrow z=y . Logo
Para
lambda3=-1 ,
da primeira linha
x+6y=0Rightarrow x=-6y , da segunda
-6y+y+z=0Rightarrow z=5y . Tomando
y=-1 para simplificar,
Passo 5
Como os três vetores próprios são linearmente independentes, a solução geral é
ou seja