Prove que a solução geral em R do sistema
X^prime=(lll 0 & 6 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ) X
é dada por
X=c1(c 6 -1 -5 ) e^-t+c2(c -3 1 1 ) e^-2 t+c3(l 2 1 1 ) e^3 t

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo em R^3
X' = A,X, A = 0 & 6 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ,
e pede a solução geral. Para sistemas lineares constantes a técnica é encontrar os valores próprios lambda de A e seus vetores próprios v, pois cada modo e^lambda tv gera uma solução e a combinação linear desses modos é a solução geral.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
detl(A - lambda Ir) = det -lambda & 6 & 0 1 & -lambda & 1 1 & 1 & -lambda = -lambdal((-lambda)(-lambda)-1cdot1r) -6l(1cdot(-lambda)-1cdot1r)
= -lambda(lambda^2-1)-6(-lambda-1) = -lambda^3+lambda+6lambda+6 = -l(lambda^3-7lambda-6r)
Logo a equação característica é
lambda^3 -7lambda -6 = 0

Passo 3

Testando raízes inteiras, vemos que lambda=3 satisfaz 27-21-6=0. Fazendo divisão sintética ou fatoração,
lambda^3-7lambda-6=(lambda-3)(lambda^2+3lambda+2) =(lambda-3)(lambda+2)(lambda+1)
Portanto os valores próprios são
lambda1 = 3, lambda2 = -2, lambda3 = -1

Passo 4

Para cada lambdai, resolvemos (A-lambdai I)v=0:
Para lambda1=3,
A-3I =-3&6&01&-3&11&1&-3,
da primeira linha -3x+6y=0Rightarrow x=2y, da terceira x+y-3z=0Rightarrow2y+y-3z=0Rightarrow z=y. Assim
v1 = 211
Para lambda2=-2,
A+2I =2&6&01&2&11&1&2,
da primeira linha 2x+6y=0Rightarrow x=-3y, da terceira -3y+y+2z=0Rightarrow z=y. Logo
v2 = -311
Para lambda3=-1,
A+I =1&6&01&1&11&1&1,
da primeira linha x+6y=0Rightarrow x=-6y, da segunda -6y+y+z=0Rightarrow z=5y. Tomando y=-1 para simplificar,
v3 = 6-1-5

Passo 5

Como os três vetores próprios são linearmente independentes, a solução geral é
X(t) = c1,v3,e^-t + c2,v2,e^-2t + c3,v1,e^3t,
ou seja
X(t) = c16-1-5e^-t + c2-311e^-2t + c3211e^3t

Resposta

X(t) = c16-1-5e^-t + c2-311e^-2t + c3211e^3t

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