Prove que a solução geral em
do sistema
é dada por
X=c1binom1-1-raiz2 e^raiz2 t+c2binom1-1+raiz2 e^-raiz2 t+binom10 t^2+binom-24 t+binom10
Passo 1
O enunciado pede a solução geral em
R do sistema linear não homogêneo
O método é achar a solução da parte homogênea
X'=A,X e depois uma solução particular
Xp(t) por polinômio de grau 2, já que
f(t) é de grau 2.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a homogênea
X'=A,X . A equação característica de
A é
logo
lambda=pmraiz2 .
Paralambda=raiz2 , um autovetor satisfaz
Para
podemos escolher
binom1-1-raiz2 .
Paralambda=-raiz2 , segue-se análogo e obtemos o autovetor
binom1-1+raiz2 .
Assim a solução homogênea é
Para
Assim a solução homogênea é
Passo 3
Proponho uma solução particular polinomial de grau 2,
onde
ai,bi,ci são constantes a determinar. Então
Passo 4
Substituindo em
onde escrevemos
,
,
. Igualando coeficientes de
,
e termo constante:
- Grau 2:
que resolve em (a=(1,0)^T].
- Grau 1:
isto é
de onde
.
- Grau 0:
o que leva ao mesmo sistema de
, dando
.
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: