Prove que a solução geral em R do sistema
X^prime=(cc -1 & -1 -1 & 1 ) X+binom11 t^2+binom4-6 t+binom-15
é dada por
X=c1binom1-1-raiz2 e^raiz2 t+c2binom1-1+raiz2 e^-raiz2 t+binom10 t^2+binom-24 t+binom10

Passo 1

O enunciado pede a solução geral em R do sistema linear não homogêneo
X' = A,X + f(t), A = -1 & -1-1 & 1, f(t)=binom11t^2+binom4-6t+binom-15
O método é achar a solução da parte homogênea X'=A,X e depois uma solução particular Xp(t) por polinômio de grau 2, já que f(t) é de grau 2.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a homogênea X'=A,X. A equação característica de A é
det(A-lambda I) =det-1-lambda&-1-1&1-lambda =(,-1-lambda)(1-lambda)-1 =lambda^2-2 =0,
logo lambda=pmraiz2.
Para lambda=raiz2, um autovetor satisfaz
-1-raiz2&-1-1&1-raiz2 binomv1v2=0 Longrightarrow v2=-(1+raiz2),v1,
podemos escolher binom1-1-raiz2.
Para lambda=-raiz2, segue-se análogo e obtemos o autovetor binom1-1+raiz2.
Assim a solução homogênea é
Xh(t) =c1binom1-1-raiz2e^raiz2t +c2binom1-1+raiz2e^-raiz2t

Passo 3

Proponho uma solução particular polinomial de grau 2,
Xp(t)=binoma1a2t^2+binomb1b2t+binomc1c2,
onde ai,bi,ci são constantes a determinar. Então
Xp'(t) =2binoma1a2t+binomb1b2

Passo 4

Substituindo em
onde escrevemos , , . Igualando coeficientes de , e termo constante:
  1. Grau 2:
que resolve em (a=(1,0)^T].
  1. Grau 1:
isto é
de onde .
  1. Grau 0:
o que leva ao mesmo sistema de , dando .

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
X(t)=Xh(t)+Xp(t)

Resposta

X(t) =c1binom1-1-raiz2e^raiz2t +c2binom1-1+raiz2e^-raiz2t +binom10t^2 +binom-24t +binom10

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