Descreva a operação de convolução discreta e sua importância na análise de sistemas LTI. Calcule a convolução entre os sinais:
x[n]=1,2,3, h[n]=0.5,0.5

Passo 1

O enunciado pede para explicar o que é a convolução discreta e por que ela é essencial na análise de sistemas LTI (Lineares e Invariantes no Tempo), e em seguida calcular a saída
y[n] = (x * h)[n]
para
x[n] = 1,2,3, h[n] = 0,5,,0,5
Conteúdo que vamos usar: definição da soma de convolução discreta, ideia de resposta ao impulso em sistemas LTI e cálculo direto da soma.

Passo 2

A convolução discreta entre dois sinais x[n] e h[n] é definida por
y[n] ;=;sumk=-infty^infty x[k]cdot h[n-k]
Em sistemas LTI, h[n] é a resposta ao impulso e qualquer entrada x[n] gera saída y[n] via essa soma.
Aqui assumimos
x[0]=1,;x[1]=2,;x[2]=3, x[n]=0 para n<0 ou n>2,
h[0]=0,5,;h[1]=0,5, h[n]=0 para n<0 ou n>1
O suporte de y[n] será de n=0 até n=2+1=3.

Passo 3

Cálculo dos dois primeiros termos:
Para n=0:
y[0] = sumk x[k],h[0-k] = x[0],h[0] = 1cdot 0,5 = 0,5
Para n=1:
y[1] = x[0],h[1] + x[1],h[0] = 1cdot 0,5 + 2cdot 0,5 = 0,5 + 1 = 1,5

Passo 4

Cálculo dos últimos termos:
Para n=2:
y[2] = x[1],h[1] + x[2],h[0] = 2cdot 0,5 + 3cdot 0,5 = 1 + 1,5 = 2,5
Para n=3:
y[3] = x[2],h[1] = 3cdot 0,5 = 1,5

Resposta

A saída da convolução é
y[n] = 0,5,;1,5,;2,5,;1,5

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