Descreva em palavras a regiâo de \mathrm{R}^{3} representada pela equação ou inequação.
x \geqslant-3

Passo 1

O enunciado pede: descrever em palavras a região de \mathbb{R}^3 representada pela inequação \;x \ge -3.\n
Informações dadas:
\;x é a coordenada x de um ponto (x,y,z) em \mathbb{R}^3.
A condição é apenas sobre a coordenada x e impõe que ela seja maior ou igual a -3.

Passo 2

Entendendo geometricamente a equação limite \;x = -3.\n
A equação \;x = -3 descreve um plano em \mathbb{R}^3. Esse plano é paralelo ao plano yz (ou seja, paralelo ao plano determinado pelas coordenadas y e z), porque todos os pontos do plano têm a mesma coordenada x igual a -3 e y,z variam livremente. Em forma simbólica:
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x = -3\}.

Passo 3

O que significa a inequação \;x \ge -3.\n
A condição \;x \ge -3 diz que estamos pegando todos os pontos cuja coordenada x é maior ou igual a -3. Geometricamente isso significa que tomamos o plano \;x=-3 como fronteira e ficamos com todos os pontos do lado onde a coordenada x é maior (isto é, no sentido do eixo positivo x). Como a desigualdade inclui o sinal de igualdade, a fronteira ( x=-3) também pertence à região.

Passo 4

Descrição como semiespaço e parâmetro.\n
A região é um semiespaço fechado. Podemos descrevê-la em forma paramétrica assim:
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x\ge -3\} = \{(-3+t,\;y,\;z)\mid t\ge 0,\; y\in\mathbb{R},\; z\in\mathbb{R}\}.
Aqui t representa quanto a coordenada x ultrapassa -3; y e z podem ser quaisquer números reais.

Passo 5

Propriedades importantes (úteis na prova).\n
  • A região é ilimitada (estende-se indefinidamente) nas direções dos eixos y e z e para a direção positiva de x.
  • A fronteira é o plano \;x=-3 e está incluída porque a desigualdade é com \ge.
  • O vetor normal ao plano fronteira é (1,0,0); orientar para o lado onde x aumenta ajuda a visualizar qual semiespaço é escolhido.

Passo 6

Como testar pontos (exemplos práticos).\n
  • O ponto (0,0,0) satisfaz \;x\ge -3 porque 0\ge -3; logo está na região.
  • O ponto (-3,2,5) está na fronteira e pertence à região.
  • O ponto (-5,0,0) não pertence porque -5\ge -3 é falso.

Passo 7

Dica de desenho rápido (para usar na prova).\n
Desenhe os três eixos x,y,z. Marque o plano x=-3 como uma folha vertical paralela ao plano yz. Sombreie o lado do plano que fica no sentido do eixo x positivo (direita do plano) e deixe a própria folha sombreada também (porque \ge inclui a fronteira).

Resposta

O conjunto de todos os pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 cuja coordenada x é maior ou igual a -3; isto é, o semiespaço fechado delimitado pelo plano x=-3, paralelo ao plano yz, estendendo-se ilimitadamente nas direções y, z e para x>-3.

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