Descreva em palavras a regiâo de
representada pela equação ou inequação.
Passo 1
O enunciado dá a equação
no espaço
e pede que a região descrita por essa equação seja descrita em palavras. Informações relevantes: a equação fixa apenas a coordenada
como
; não há nenhuma restrição explícita para
ou
. A pergunta é: que conjunto de pontos de
satisfaz
e como descrevemos geometricamente essa região?
Passo 2
Lembra do que é um ponto em
: qualquer ponto tem coordenadas
com
. A equação
significa que, entre as três coordenadas, a segunda deve valer
. Ou seja, só permitem pontos cuja coordenada
é
; as coordenadas
e
podem ser quaisquer números reais.
Escrevendo o conjunto de forma matemática para fixar a ideia, os pontos que satisfazem
são
Isto já diz que temos dois graus de liberdade (
e
) — portanto a região é bidimensional no espaço tridimensional.
Passo 3
Geometricamente, o conjunto
é um plano. Mais precisamente, é um plano paralelo ao plano
(o plano determinado por
). Você pode imaginar como uma folha infinita “horizontal” atravessando o espaço, localizada onde a coordenada
vale
.
Uma maneira útil de ver a orientação do plano é dar seu vetor normal. A forma geral de um plano é
; para
escrevemos
que corresponde a
. O vetor normal é então
Isto mostra claramente que o plano é perpendicular ao eixo
e paralelo ao plano
.
Passo 4
Uma forma paramétrica simples também ajuda a visualizar: podemos usar parâmetros
e escrever
Isso indica que, ao variar
e
, percorremos todo o plano.
Algumas propriedades relacionadas que ajudam na intuição:
- O plano não intersecta o eixo
nem o eixo (pois nesses eixos , não ); - Intersecta o eixo
no ponto ; - A distância do plano até a origem
é . Usando a fórmula da distância de um ponto ao plano ,
substituindo
e
obtemos
.
Passo 5
Resumo intuitivo: pense no plano como um piso/chapéu horizontal posicionado a
unidades abaixo do plano
(o “nível do mar”
). É infinito em extensão nas direções
e
, e em qualquer ponto desse plano a coordenada vertical
é sempre
.
Resposta
O conjunto de todos os pontos
com
; ou seja, um plano infinito paralelo ao plano
, perpendicular ao eixo
, localizado à distância
da origem na direção negativa de
.