Descreva em palavras a regiâo de \mathrm{R}^{3} representada pela equação ou inequação.
y=-2

Passo 1

O enunciado dá a equação \,y=-2\, no espaço \,\mathbb{R}^3\, e pede que a região descrita por essa equação seja descrita em palavras. Informações relevantes: a equação fixa apenas a coordenada y como -2; não há nenhuma restrição explícita para x ou z. A pergunta é: que conjunto de pontos de \mathbb{R}^3 satisfaz \,y=-2\, e como descrevemos geometricamente essa região?

Passo 2

Lembra do que é um ponto em \mathbb{R}^3: qualquer ponto tem coordenadas (x,y,z) com x,y,z\in\mathbb{R}. A equação \,y=-2\, significa que, entre as três coordenadas, a segunda deve valer -2. Ou seja, só permitem pontos cuja coordenada y é -2; as coordenadas x e z podem ser quaisquer números reais.
Escrevendo o conjunto de forma matemática para fixar a ideia, os pontos que satisfazem \,y=-2\, são
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=-2\}=\{(x,-2,z)\mid x\in\mathbb{R},\; z\in\mathbb{R}\}.
Isto já diz que temos dois graus de liberdade ( x e z) — portanto a região é bidimensional no espaço tridimensional.

Passo 3

Geometricamente, o conjunto \{(x,-2,z)\} é um plano. Mais precisamente, é um plano paralelo ao plano xz (o plano determinado por y=0). Você pode imaginar como uma folha infinita “horizontal” atravessando o espaço, localizada onde a coordenada y vale -2.
Uma maneira útil de ver a orientação do plano é dar seu vetor normal. A forma geral de um plano é ax+by+cz+d=0; para \,y=-2\, escrevemos
y+2=0,
que corresponde a a=0,\;b=1,\;c=0,\;d=2. O vetor normal é então
\mathbf{n}=(0,1,0).
Isto mostra claramente que o plano é perpendicular ao eixo y e paralelo ao plano xz.

Passo 4

Uma forma paramétrica simples também ajuda a visualizar: podemos usar parâmetros s,t\in\mathbb{R} e escrever
(x,y,z)=(s,-2,t),\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Isso indica que, ao variar s e t, percorremos todo o plano.
Algumas propriedades relacionadas que ajudam na intuição:
  • O plano não intersecta o eixo x nem o eixo z (pois nesses eixos y=0, não -2);
  • Intersecta o eixo y no ponto (0,-2,0);
  • A distância do plano até a origem (0,0,0) é 2. Usando a fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) ao plano ax+by+cz+d=0,
\text{dist}=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},
substituindo a=0,b=1,c=0,d=2 e (x_0,y_0,z_0)=(0,0,0) obtemos \text{dist}=2.

Passo 5

Resumo intuitivo: pense no plano como um piso/chapéu horizontal posicionado a 2 unidades abaixo do plano y=0 (o “nível do mar” y=0). É infinito em extensão nas direções x e z, e em qualquer ponto desse plano a coordenada vertical y é sempre -2.

Resposta

O conjunto de todos os pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 com y=-2; ou seja, um plano infinito paralelo ao plano xz, perpendicular ao eixo y, localizado à distância 2 da origem na direção negativa de y.

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