Descreva em palavras a regiâo de \mathrm{R}^{3} representada pela equação ou inequação.
x=5

Passo 1

O enunciado pede: descrever em palavras a região de \mathbb{R}^3 representada pela equação \,x=5\,.
Informações dadas: a única condição é a igualdade \,x=5\,; não há restrição explícita sobre \,y\, e \,z\,.

Passo 2

Lembrete básico sobre coordenadas em \mathbb{R}^3: um ponto qualquer é representado por (x,y,z), onde \,x\,,y\,,z\in\mathbb{R}. Cada coordenada indica a posição ao longo de um dos três eixos mutuamente perpendiculares: eixo x, eixo y e eixo z.

Passo 3

Interpretando a equação \,x=5\,: isso fixa a coordenada x igual a 5, enquanto as coordenadas y e z podem ser quaisquer números reais. Em forma de conjunto:
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=5\}=\{(5,y,z)\mid y\in\mathbb{R},\;z\in\mathbb{R}\}.
Essa é uma descrição paramétrica simples: todos os pontos cujo primeiro componente é 5.

Passo 4

Descrição geométrica: a coleção \{(5,y,z)\} forma um plano em \mathbb{R}^3. Esse plano é paralelo ao plano yz (ou seja, paralelo ao plano dado por x=0) porque varia somente em y e z. Como consequência, esse plano é perpendicular ao eixo x.

Passo 5

Característica de posição e distância: a equação pode ser escrita como \,x-5=0\,, que é uma equação de plano com vetor normal (1,0,0). A distância do plano à origem (0,0,0) é
\frac{|1\cdot 0 + 0\cdot 0 + 0\cdot 0 - 5|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\frac{5}{1}=5,
ou seja, o plano está a 5 unidades da origem ao longo do eixo x.

Passo 6

Propriedades úteis e exemplos para fixar a ideia:
  • O plano é bidimensional (tem duas direções de variação: y e z) e infinito em extensão nessas direções.
  • Não passa pela origem (pois x=0 na origem e aqui x=5).
  • Interseções simples: intersectando com o plano y=2 obtemos a reta \{(5,2,z)\mid z\in\mathbb{R}\}; intersectando com z=0 obtemos a reta \{(5,y,0)\mid y\in\mathbb{R}\}.
  • Forma mental: imagine uma folha infinita e vertical (como uma parede) paralela ao plano yz colocada no ponto onde x=5.

Resposta

Conjunto de todos os pontos (5,y,z) com y,z\in\mathbb{R}; é um plano paralelo ao plano yz, perpendicular ao eixo x, localizado a distância 5 da origem.

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