Descreva em palavras a regiâo de
representada pela equação ou inequação.
Passo 1
O enunciado dá a equação
em
e pede que eu descreva em palavras a região do espaço que essa equação representa.
Informações relevantes dadas: a única condição sobre um ponto é que os componentes
e
sejam iguais.
Pergunta: qual é a descrição geométrica (em palavras e com intuição) do conjunto de todos os pontos que satisfazem
Informações relevantes dadas: a única condição sobre um ponto
Pergunta: qual é a descrição geométrica (em palavras e com intuição) do conjunto de todos os pontos
Passo 2
Transformar a equação em forma conveniente. A condição
pode ser escrita como
Isto é uma equação linear em
, portanto descreve um plano em
. Vou explicar o que isso significa e como visualizar esse plano.
Passo 3
Interpretar a forma cartesiana e obter o vetor normal. A equação
pode ser vista como
onde
é o vetor de coeficientes. Esse vetor é o vetor normal ao plano (ou seja, é perpendicular a todo vetor contido no plano). Explicação didática: se um vetor normal é
, então a equação
define um plano perpendicular a
. No nosso caso
, então o plano passa pela origem.
Passo 4
Parametrização do plano — forma prática para visualizar e construir pontos. Como
e
devem ser iguais, posso chamar esse valor de parâmetro
, e o segundo parâmetro
escolher para ser o valor de
. Assim todo ponto do conjunto é da forma
com
. Isso mostra que o plano é gerado (espaço linearmente) pelas direções
e
.
Passo 5
Consequências geométricas importantes (para entender a forma do plano). Da parametrização vemos:
- O plano passa pela origem
(basta ). - O vetor
está contido no plano, logo o eixo (linha ) pertence ao plano. Em palavras: o plano é paralelo ao eixo (na verdade contém o próprio eixo ). - Projetando o plano no plano
(ou seja, ignorando ), a projeção é a reta no plano . Portanto, no sentido horizontal (eixo e ), esse plano é a reta que faz entre os eixos e .
Passo 6
Descrição intuitiva final e exemplos para fixar. Em palavras simples: o conjunto é o plano vertical que contém o eixo
e que corta o plano
na reta
. Ele é obtido girando a reta
do plano
ao longo da direção
. Exemplos de pontos que pertencem ao plano:
,
,
,
. Exemplo de ponto que não pertence:
(aqui
).
Resposta
O conjunto é o plano
: um plano que passa pela origem, contém o eixo
e que, visto no plano
, é a reta
(ou seja, um plano vertical fazendo
entre os eixos
e
).