Descreva em palavras a regiâo de \mathrm{R}^{3} representada pela equação ou inequação.
x=z

Passo 1

O enunciado dá a equação \;x=z\; em \mathbb{R}^{3} e pede que eu descreva em palavras a região do espaço que essa equação representa.
Informações relevantes dadas: a única condição sobre um ponto (x,y,z) é que os componentes x e z sejam iguais.
Pergunta: qual é a descrição geométrica (em palavras e com intuição) do conjunto de todos os pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} que satisfazem \;x=z\;?

Passo 2

Transformar a equação em forma conveniente. A condição \;x=z\; pode ser escrita como
x - z = 0.
Isto é uma equação linear em \;x,y,z\;, portanto descreve um plano em \mathbb{R}^{3}. Vou explicar o que isso significa e como visualizar esse plano.

Passo 3

Interpretar a forma cartesiana e obter o vetor normal. A equação \;x - z = 0\; pode ser vista como
(1,0,-1)\cdot(x,y,z)=0,
onde (1,0,-1) é o vetor de coeficientes. Esse vetor é o vetor normal ao plano (ou seja, é perpendicular a todo vetor contido no plano). Explicação didática: se um vetor normal é \mathbf{n}=(a,b,c), então a equação a x + b y + c z = d define um plano perpendicular a \mathbf{n}. No nosso caso d=0, então o plano passa pela origem.

Passo 4

Parametrização do plano — forma prática para visualizar e construir pontos. Como x e z devem ser iguais, posso chamar esse valor de parâmetro s, e o segundo parâmetro t escolher para ser o valor de y. Assim todo ponto do conjunto é da forma
(x,y,z) = (s,t,s) = s\,(1,0,1) + t\,(0,1,0),
com s,t\in\mathbb{R}. Isso mostra que o plano é gerado (espaço linearmente) pelas direções (1,0,1) e (0,1,0).

Passo 5

Consequências geométricas importantes (para entender a forma do plano). Da parametrização vemos:
  • O plano passa pela origem (0,0,0) (basta s=0,t=0).
  • O vetor (0,1,0) está contido no plano, logo o eixo y (linha (0,t,0)) pertence ao plano. Em palavras: o plano é paralelo ao eixo y (na verdade contém o próprio eixo y).
  • Projetando o plano no plano xz (ou seja, ignorando y), a projeção é a reta \;x=z\; no plano xz. Portanto, no sentido horizontal (eixo x e z), esse plano é a reta que faz 45^\circ entre os eixos x e z.

Passo 6

Descrição intuitiva final e exemplos para fixar. Em palavras simples: o conjunto é o plano vertical que contém o eixo y e que corta o plano xz na reta \;x=z\;. Ele é obtido girando a reta \;x=z\; do plano xz ao longo da direção y. Exemplos de pontos que pertencem ao plano: (1,0,1), (2,3,2), (0,5,0), (-1,4,-1). Exemplo de ponto que não pertence: (1,0,0) (aqui x\neq z).

Resposta

O conjunto é o plano \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x=z\}: um plano que passa pela origem, contém o eixo y e que, visto no plano xz, é a reta \;x=z\; (ou seja, um plano vertical fazendo 45^\circ entre os eixos x e z).

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