Descreva em palavras a regiâo de
representada pela equação ou inequação.
Passo 1
O enunciado dá a inequação
e pede que eu descreva, em palavras, a região do espaço
representada por essa inequação.
Informações dadas: a expressão algébrica envolvendo as coordenadas de um ponto em
.
O que queríamos saber: qual a forma geométrica dessa região e como descrevê‑la com palavras (por exemplo: esfera, interior, exterior, centro, raio, se a fronteira está incluída etc.).
Informações dadas: a expressão algébrica envolvendo as coordenadas
O que queríamos saber: qual a forma geométrica dessa região e como descrevê‑la com palavras (por exemplo: esfera, interior, exterior, centro, raio, se a fronteira está incluída etc.).
Passo 2
Primeiro passo algébrico: reorganizar a inequação para poder reconhecer alguma forma geométrica conhecida. Vou passar todos os termos para um lado:
A ideia é tentar escrever essa expressão como soma de quadrados com um termo constante, porque somas de quadrados lembram distâncias ao quadrado.
Passo 3
Explicando o truque de completar o quadrado (que usamos aqui para a variável
): para qualquer número
,
Por que isso funciona? Porque
. Subtraindo
volta a igualar
. Esse é um procedimento padrão para transformar um polinômio quadrático em um quadrado perfeito mais/menos uma constante.
Passo 4
Substituo a identidade do Passo 3 na inequação do Passo 2:
Agora somo o
ao lado direito:
Passo 5
Interpretação geométrica: a quantidade
é exatamente o quadrado da distância euclidiana do ponto
ao ponto
. Em forma de distância:
Ou seja, os pontos cuja distância ao ponto
é maior que
.
Passo 6
Conclusão detalhada e intuitiva: a inequação descreve todos os pontos que estão estritamente fora da esfera de centro
e raio
. A superfície da esfera (onde a distância é exatamente
) não está incluída porque a desigualdade é estrita
. Em termos topológicos, é o exterior da esfera — o complemento do fechamento da bola de raio
centrada em
.
Passo 7
Checagem rápida com exemplos (para fixar e te dar confiança):
- O ponto
tem distância ao centro , e , logo pertence à região. - O ponto
tem distância , não pertence. - O ponto
tem distância , está exatamente na superfície e também não pertence por causa do sinal .
Esses exemplos confirmam a interpretação.
Resposta
Conjunto dos pontos de
cuja distância ao ponto
é maior que
; isto é, o exterior (pontos estritamente fora) da esfera de centro
e raio
(a superfície não está incluída).