Descreva em palavras a regiâo de \mathrm{R}^{3} representada pela equação ou inequação.
x^{2}+y^{2}+z^{2}>2 z

Passo 1

O enunciado dá a inequação \,x^{2}+y^{2}+z^{2}>2z\, e pede que eu descreva, em palavras, a região do espaço \mathrm{R}^{3} representada por essa inequação.
Informações dadas: a expressão algébrica envolvendo as coordenadas (x,y,z) de um ponto em \mathrm{R}^{3}.
O que queríamos saber: qual a forma geométrica dessa região e como descrevê‑la com palavras (por exemplo: esfera, interior, exterior, centro, raio, se a fronteira está incluída etc.).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: reorganizar a inequação para poder reconhecer alguma forma geométrica conhecida. Vou passar todos os termos para um lado:
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2z>0.
A ideia é tentar escrever essa expressão como soma de quadrados com um termo constante, porque somas de quadrados lembram distâncias ao quadrado.

Passo 3

Explicando o truque de completar o quadrado (que usamos aqui para a variável z): para qualquer número z,
z^{2}-2z=(z-1)^{2}-1.
Por que isso funciona? Porque (z-1)^{2}=z^{2}-2z+1. Subtraindo 1 volta a igualar z^{2}-2z. Esse é um procedimento padrão para transformar um polinômio quadrático em um quadrado perfeito mais/menos uma constante.

Passo 4

Substituo a identidade do Passo 3 na inequação do Passo 2:
x^{2}+y^{2}+\bigl((z-1)^{2}-1\bigr)>0.
Agora somo o -1 ao lado direito:
x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}>1.

Passo 5

Interpretação geométrica: a quantidade x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} é exatamente o quadrado da distância euclidiana do ponto (x,y,z) ao ponto (0,0,1). Em forma de distância:
\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}}>1.
Ou seja, os pontos cuja distância ao ponto (0,0,1) é maior que 1.

Passo 6

Conclusão detalhada e intuitiva: a inequação descreve todos os pontos que estão estritamente fora da esfera de centro (0,0,1) e raio 1. A superfície da esfera (onde a distância é exatamente 1) não está incluída porque a desigualdade é estrita (>). Em termos topológicos, é o exterior da esfera — o complemento do fechamento da bola de raio 1 centrada em (0,0,1).

Passo 7

Checagem rápida com exemplos (para fixar e te dar confiança):
  • O ponto (0,0,3) tem distância 2 ao centro (0,0,1), e 2>1, logo pertence à região.
  • O ponto (0,0,1) tem distância 0, não pertence.
  • O ponto (0,0,2) tem distância 1, está exatamente na superfície e também não pertence por causa do sinal >.
    Esses exemplos confirmam a interpretação.

Resposta

Conjunto dos pontos de \mathrm{R}^{3} cuja distância ao ponto (0,0,1) é maior que 1; isto é, o exterior (pontos estritamente fora) da esfera de centro (0,0,1) e raio 1 (a superfície não está incluída).

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