Determine uma equação da maior esfera com centro em ( 5,4,9 ) contida no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine uma equação da maior esfera com centro em (5,4,9) contida no primeiro octante.”\n
Informações dadas:
\text{centro } = (5,4,9).
\text{primeiro octante} = \{(x,y,z)\mid x\ge 0,\; y\ge 0,\; z\ge 0\}.
Pergunta que precisamos responder: achar a equação da maior esfera centrada em (5,4,9) que esteja inteiramente dentro do primeiro octante.

Passo 2

Vamos lembrar a forma geral da equação de uma esfera. A esfera de centro (a,b,c) e raio r é o conjunto de pontos cuja distância até o centro é igual a r. A equação obtida ao elevar ao quadrado a distância euclidiana é
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = r^2.
Aqui x,y,z são as coordenadas de um ponto qualquer da esfera; a,b,c são as coordenadas do centro; e r é o raio (um número não negativo). Essa fórmula vem de aplicar o Teorema de Pitágoras na diferença de coordenadas.

Passo 3

Entender a condição “contida no primeiro octante”: para que toda a esfera fique dentro do conjunto \{x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0\}, a distância do centro da esfera até cada um dos planos coordenados x=0, y=0, z=0 deve ser pelo menos r. Caso contrário, alguma parte da esfera atravessaria um desses planos e entraria em coordenadas negativas.
Fórmula simples para a distância de um ponto (a,b,c) ao plano x=0 é |a|; ao plano y=0 é |b|; ao plano z=0 é |c|. Como o centro dado tem coordenadas positivas ( 5,4,9), essas distâncias são simplesmente 5, 4 e 9 respectivamente. Portanto é necessário que
r \le 5,\qquad r \le 4,\qquad r \le 9.

Passo 4

Para a maior esfera possível, escolhemos o maior r que satisfaça todas as desigualdades acima. Ou seja,
r = \min\{5,4,9\} = 4.
Intuição geométrica: a coordenada mais próxima do plano coordenado é y=4, então o limite vem desse plano; a esfera de raio 4 ficará tangente ao plano y=0 (tocando em um ponto) e não ultrapassará nenhum outro plano coordenado. Se tentássemos r>4, a esfera teria pontos com y<0, saindo do primeiro octante.

Passo 5

Agora escrevemos a equação da esfera com centro (5,4,9) e raio r=4. Usando a forma geral do Passo 2, substituindo a=5, b=4, c=9 e r^2=16, obtemos:
(x-5)^2+(y-4)^2+(z-9)^2 = 16.
Verificação rápida: o ponto (5,0,9) está no plano y=0 e sua distância ao centro é \sqrt{(5-5)^2+(0-4)^2+(9-9)^2}=\sqrt{16}=4, então a esfera é tangente ao plano y=0, conforme esperado.

Resposta

(x-5)^2+(y-4)^2+(z-9)^2 = 16

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