Determine uma equação da maior esfera com centro em (
) contida no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine uma equação da maior esfera com centro em
contida no primeiro octante.”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Pergunta que precisamos responder: achar a equação da maior esfera centrada em
que esteja inteiramente dentro do primeiro octante.
Passo 2
Vamos lembrar a forma geral da equação de uma esfera. A esfera de centro
e raio
é o conjunto de pontos cuja distância até o centro é igual a
. A equação obtida ao elevar ao quadrado a distância euclidiana é
Aqui
são as coordenadas de um ponto qualquer da esfera;
são as coordenadas do centro; e
é o raio (um número não negativo). Essa fórmula vem de aplicar o Teorema de Pitágoras na diferença de coordenadas.
Passo 3
Entender a condição “contida no primeiro octante”: para que toda a esfera fique dentro do conjunto
, a distância do centro da esfera até cada um dos planos coordenados
,
,
deve ser pelo menos
. Caso contrário, alguma parte da esfera atravessaria um desses planos e entraria em coordenadas negativas.
Fórmula simples para a distância de um ponto
ao plano
é
; ao plano
é
; ao plano
é
. Como o centro dado tem coordenadas positivas (
), essas distâncias são simplesmente
,
e
respectivamente. Portanto é necessário que
Passo 4
Para a maior esfera possível, escolhemos o maior
que satisfaça todas as desigualdades acima. Ou seja,
Intuição geométrica: a coordenada mais próxima do plano coordenado é
, então o limite vem desse plano; a esfera de raio
ficará tangente ao plano
(tocando em um ponto) e não ultrapassará nenhum outro plano coordenado. Se tentássemos
, a esfera teria pontos com
, saindo do primeiro octante.
Passo 5
Agora escrevemos a equação da esfera com centro
e raio
. Usando a forma geral do Passo 2, substituindo
,
,
e
, obtemos:
Verificação rápida: o ponto
está no plano
e sua distância ao centro é
, então a esfera é tangente ao plano
, conforme esperado.