Descreva com suas palavras o significado da primeira e da segunda derivada de uma função. (5,0 pontos)
2. Calcule as derivadas d xd t e d^2 xd t^2 das seguintes funções x(t) : ( 0,5 pontos cada)
a) x=2+6 t

Passo 1

O exercício tem duas partes:
  1. Descrever com nossas próprias palavras o que significam a primeira e a segunda derivada de uma função.
  2. Calcular as derivadas e para a função .
    O conteúdo é Cálculo Diferencial: precisamos lembrar o conceito de derivada (taxa de variação instantânea) e usar a regra básica de derivar polinômios.

Passo 2

Significado da primeira derivada
  • Em termos simples, a primeira derivada de x'(t) = limDe, escrita ou , mede a velocidade de variação de em relação a .
  • Imagine um gráfico de versus : a primeira derivada é a inclinação da reta tangente naquele ponto.
  • Teoricamente,
Isso nos dá a taxa de mudança “instantânea” de .

Passo 3

Significado da segunda derivada
  • A segunda derivada, ou , é simplesmente a derivada da derivada.
  • Geometricamente, ela indica como a inclinação (velocidade) está mudando – ou seja, a “curvatura” ou concavidade do gráfico de .
  • Fisicamente, se é velocidade, é aceleração, mostrando se a velocidade está aumentando ou diminuindo.

Passo 4

Cálculo de dxdt = 0 + 6 = 6 para
  • Regra: derivada de constante é 0; derivada de é .
  • Logo,

Passo 5

Cálculo de d^2xdt^2 = 0
  • Agora derivamos .
  • Como 6 é constante, a derivada é zero:

Resposta

  1. A primeira derivada dxdt=6, d^2xdt^2=0 representa a taxa de variação instantânea de em relação a (a inclinação do gráfico, ou velocidade). A segunda derivada mostra como essa taxa de variação está mudando (curvatura do gráfico, ou aceleração).
  2. Para :

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