Descreva com suas palavras o significado da primeira e da segunda derivada de uma função. (5,0 pontos)
2. Calcule as derivadas
das seguintes funções
: ( 0,5 pontos cada)
a)
2. Calcule as derivadas
a)
Passo 1
O exercício tem duas partes:
- Descrever com nossas próprias palavras o que significam a primeira e a segunda derivada de uma função.
- Calcular as derivadas
e para a função .
O conteúdo é Cálculo Diferencial: precisamos lembrar o conceito de derivada (taxa de variação instantânea) e usar a regra básica de derivar polinômios.
Passo 2
Significado da primeira derivada
- Em termos simples, a primeira derivada de
, escrita ou , mede a velocidade de variação de em relação a . - Imagine um gráfico de
versus : a primeira derivada é a inclinação da reta tangente naquele ponto. - Teoricamente,
Isso nos dá a taxa de mudança “instantânea” de
.
Passo 3
Significado da segunda derivada
- A segunda derivada,
ou , é simplesmente a derivada da derivada. - Geometricamente, ela indica como a inclinação (velocidade) está mudando – ou seja, a “curvatura” ou concavidade do gráfico de
. - Fisicamente, se
é velocidade, é aceleração, mostrando se a velocidade está aumentando ou diminuindo.
Passo 4
Cálculo de
para
- Regra: derivada de constante é 0; derivada de
é . - Logo,
Passo 5
Cálculo de
- Agora derivamos
. - Como 6 é constante, a derivada é zero:
Resposta
- A primeira derivada
representa a taxa de variação instantânea de em relação a (a inclinação do gráfico, ou velocidade). A segunda derivada mostra como essa taxa de variação está mudando (curvatura do gráfico, ou aceleração). - Para
: