Se A=a(3,0 i+4,0 j) onde a é um escalar, determine o valor de a para que A seja um vetor unitário.
3. Usando o método dos componentes, encontre o ângulo entre os vetores A e B quando:
a) A=-2,0 i+6,0 j ; B=2,0 i-3,0 j

Passo 1

Beleza, aqui são duas etapas de vetores:
  1. A gente tem um vetor vec A = a,(3,0,hatimath + 4,0,hatjmath) e precisa achar o valor escalar a que faça vec A ter módulo 1 (um vetor unitário).
  2. Depois, usando componentes, a gente vai descobrir o ângulo entre vec A = -2,0,hatimath + 6,0,hatjmathevec B = 2,0,hatimath - 3,0,hatjmath
    O conteúdo é:
    - Como calcular o módulo de um vetor em 2D: |,(x,y),| = raizx^2 + y^2.
    - O que é vetor unitário: módulo igual a 1.
    - Produto escalar (dot product): vec Acdotvec B = AxBx + AyBy.
    - Relação entre produto escalar e ângulo: costheta = dfracvec Acdotvec B|vec A|;|vec B|.

Passo 2

Resolvendo a parte 1 (vetor unitário):
  1. Definição de vetor unitário: |vec A| = 1.
  2. Primeiro calcula o módulo de vec A em função de a: |vec A| ;=;l|,a,(3,0;,4,0)r| ;=;|a|;raiz3,0^2 + 4,0^2 ;=;|a|;raiz9 + 16 ;=;|a|;5
  3. Impor que isso seja 1: |a|;5 = 1 Longrightarrow |a| = tfrac15
  4. Como a pode ser positivo ou negativo, temos a = +tfrac15 ou a = -tfrac15

Passo 3

Resolvendo a parte 2 (ângulo entre vec A e vec B):
  1. Escreve as componentes:$$\vec A = (-2{,}0,;6{,}0),\quad\vec B = (2{,}0,;-3{,}0). vec A = (-2,0,;6,0), vec B = (2,0,;-3,0)\vec A\cdot\vec B= (-2{,}0),(2{,}0) + (6{,}0),(-3{,}0)
    = -4 + (-18)= -22. vec Acdotvec B = (-2,0),(2,0) + (6,0),(-3,0) = -4 + (-18) = -22ó|\vec A| = \sqrt{(-2{,}0)^2 + (6{,}0)^2}= \sqrt{4 + 36}
    = \sqrt{40}= 2\sqrt{10},$$ |vec A| = raiz(-2,0)^2 + (6,0)^2 = raiz4 + 36 = raiz40 = 2raiz10,
  2. A fórmula do ângulo é |vec B| = raiz(2,0)^2 + (-3,0)^2 = raiz4 + 9 = raiz13
  3. Para achar costheta = vec Acdotvec B|vec A|;|vec B| = -22(2raiz10)(raiz13) = -222raiz130 = -11raiz130, faz o arco cosseno:$$\theta = \arccos!\Bigl(-\tfrac{11}{\sqrt{130}}\Bigr)\approx 164{,}2^\circ.$$

Resposta

a) Para vec A ser unitário:
a = pm tfrac15
b) Ângulo entre os vetores:
$$\theta = \arccos!\Bigl(-\tfrac{11}{\sqrt{130}}\Bigr)\approx 164{,}2^\circ.```

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