Descreva a rotação em torno de um eixo em \mathbb{R}^{3} com um exemplo.

Passo 1

O enunciado pede: descrever a rotação em torno de um eixo em \mathbb{R}^{3} e apresentar um exemplo concreto.
Informações relevantes que usarei (típicas deste tipo de problema):
  • um eixo de rotação é dado por um vetor de direção em \mathbb{R}^{3}; usarei u para esse vetor e assumirei que u está normalizado (isto é, \|u\|=1); se não estiver, normaliza-se dividindo pelo seu comprimento;
  • o ângulo de rotação será chamado de \theta (em radianos ou graus, desde que usemos \cos\theta e \sin\theta compatíveis);
  • um vetor a ser rotacionado será v\in\mathbb{R}^{3};
  • objetivo prático: dar uma fórmula para calcular o vetor rotacionado e mostrar passo a passo um exemplo numérico.

Passo 2

Ideia geométrica e decomposição do vetor (a chave para entender a rotação).
Qualquer vetor v pode ser escrito como soma de duas partes: componente paralela ao eixo e componente ortogonal ao eixo. Isso facilita, porque a rotação deixa a componente paralela inalterada e gira apenas a componente ortogonal.
  • A projeção (componente paralela) de v sobre u é
v_{\parallel} = (u\cdot v)\,u,
onde u\cdot v é o produto escalar (dot product). Aqui u\cdot v é um número e u é um vetor; o produto dá a composição escalar na direção de u.
  • A componente perpendicular é
v_{\perp} = v - v_{\parallel} = v - (u\cdot v)\,u.
Geometricamente, v_{\perp} está num plano ortogonal a u.
Explicando o produto vetorial que também aparece: o produto vetorial u\times v é um vetor perpendicular tanto a u quanto a v, com magnitude \|u\times v\| = \|u\|\,\|v\|\,|\sin\varphi|, onde \varphi é o ângulo entre u e v; sua direção segue a regra da mão direita.

Passo 3

Fórmula de rotação (Rodrigues) e interpretação passo a passo.
A rotação de v em torno do eixo unitário u por ângulo \theta é dada por
v_{\text{rot}} = v_{\parallel} + \cos\theta\,v_{\perp} + \sin\theta\,(u\times v).
Explicação termo a termo:
  • v_{\parallel}=(u\cdot v)u é a parte que fica fixa (não gira) porque está sobre o eixo;
  • \cos\theta\,v_{\perp} reduz a componente perpendicular pelo fator \cos\theta — isto é o efeito do cosseno no comprimento da projeção do vetor após giro no plano perpendicular;
  • \sin\theta\,(u\times v) adiciona a componente perpendicular ortogonal à anterior, gerando a rotação dentro do plano perpendicular. O sinal de \sin\theta define o sentido (orientação) da rotação segundo a regra da mão direita com vetor u.
Esta é a chamada fórmula de Rodrigues; é prática porque usa operações vetoriais simples (produto escalar, produto vetorial, soma de vetores).

Passo 4

Forma matricial da rotação (útil para computação).
Podemos escrever a rotação como multiplicação por uma matriz R\in\mathbb{R}^{3\times 3}:
R = \cos\theta\,I + (1-\cos\theta)\,u\,u^{T} + \sin\theta\,[u]_{\times},
onde:
  • I é a matriz identidade 3\times 3;
  • u\,u^{T} é a matriz 3\times3 que representa o projétil: se u=(u_{1},u_{2},u_{3})^{T} então
u\,u^{T} = \begin{pmatrix} u_{1}u_{1} & u_{1}u_{2} & u_{1}u_{3} \\\ u_{2}u_{1} & u_{2}u_{2} & u_{2}u_{3} \\\ u_{3}u_{1} & u_{3}u_{2} & u_{3}u_{3} \end{pmatrix};
  • [u]_{\times} é a matriz antissimétrica que representa o produto vetorial com u:
[u]_{\times} = \begin{pmatrix} 0 & -u_{3} & u_{2} \\\ u_{3} & 0 & -u_{1} \\\\ -u_{2} & u_{1} & 0 \end{pmatrix},
e satisfaz [u]_{\times} v = u\times v para todo v.
Dica prática: para eixos simples, essa expressão produz as matrizes familiares; por exemplo, para u=(0,0,1) (eixo z) a fórmula dá
R = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
que é a rotação no plano xy.

Passo 5

Exemplo 1 (simples, conferir entendimento): rotacionar em torno do eixo z.
Dados: u=(0,0,1), v=(1,0,0), \theta=\pi/2 (isto é, 90^\circ). Pelo resultado conhecido,
v_{\text{rot}} = (\cos\theta, \sin\theta, 0) = (0,1,0).
Será útil no exame reconhecer este caso padrão.

Passo 6

Exemplo 2 (eixo arbitrário) — vou mostrar passo a passo como aplicar Rodrigues e fazer contas sem pular etapas.
Dados: eixo unitário \displaystyle u=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1), vetor \displaystyle v=(1,0,0), ângulo \displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3} (isto é, 120^\circ). Queremos v_{\text{rot}}.
  1. Calcule u\cdot v:
u\cdot v = \frac{1}{\sqrt{3}}(1\cdot 1 + 1\cdot 0 + 1\cdot 0) = \frac{1}{\sqrt{3}}.
  1. Calcule a parte paralela:
v_{\parallel} = (u\cdot v)\,u = \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) = \left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right).
  1. Calcule a parte perpendicular:
v_{\perp} = v - v_{\parallel} = \left(1-\frac{1}{3},\,0-\frac{1}{3},\,0-\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right).
  1. Calcule u\times v. Usando u=(a,a,a) com a=1/\sqrt{3}:
u\times v = \left(0,\,a,\,-a\right) = \left(0,\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
  1. Valores de \cos\theta e \sin\theta para \theta=2\pi/3:
\cos\theta = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\tfrac{1}{2},\qquad \sin\theta = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  1. Aplique Rodrigues:
v_{\text{rot}} = v_{\parallel} + \cos\theta\,v_{\perp} + \sin\theta\,(u\times v).
Calcule cada termo:
\cos\theta\,v_{\perp} = -\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3}\right) = \left(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{6}\right),
\sin\theta\,(u\times v) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\left(0,\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = \left(0,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right).
Somemos tudo:
v_{\parallel} + \cos\theta\,v_{\perp} = \left(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{6}\right) = \left(0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).
Agora adicione o último termo:
v_{\text{rot}} = \left(0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right) + \left(0,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right) = \left(0,1,0\right).
Observação intuitiva: a rotação por 120^\circ ao redor do eixo na direção (1,1,1) permuta as coordenadas; aqui (1,0,0) vai para (0,1,0). Verificar esse tipo de simetria mentalmente é útil na prova para checar contas.

Passo 7

Resumo prático para a prova (mini-checklist que você pode seguir na hora, sem pânico):
  1. Certifique-se de que o eixo u está normalizado; se não, calcule u/\|u\|.
  2. Calcule u\cdot v e forme v_{\parallel} e v_{\perp}.
  3. Calcule u\times v.
  4. Use Rodrigues: v_{\text{rot}} = v_{\parallel} + \cos\theta\,v_{\perp} + \sin\theta\,(u\times v).
  5. Opcional: se precisar de matriz, calcule R = \cos\theta I + (1-\cos\theta) u u^{T} + \sin\theta [u]_{\times} e multiplique R v.
    Pequeno incentivo: se fizer os passos com calma e checar sinais de \sin\theta e \cos\theta, a aplicação é direta — e repetir o pequeno exemplo com eixo z ajuda a ganhar confiança.

Resposta

\displaystyle v_{\text{rot}}=(u\cdot v)u + \cos\theta\bigl(v-(u\cdot v)u\bigr) + \sin\theta\,(u\times v) \newline
Exemplo: para u=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1), v=(1,0,0), \theta=\tfrac{2\pi}{3} obtemos v_{\text{rot}}=(0,1,0).

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