Descreva a rotação em torno de um eixo em \mathbb{R}^{3} com um exemplo.
Passo 1
O enunciado pede: descrever a rotação em torno de um eixo em \mathbb{R}^{3} e apresentar um exemplo concreto.
Informações relevantes que usarei (típicas deste tipo de problema):
um eixo de rotação é dado por um vetor de direção em \mathbb{R}^{3}; usarei u para esse vetor e assumirei que u está normalizado (isto é, \|u\|=1); se não estiver, normaliza-se dividindo pelo seu comprimento;
o ângulo de rotação será chamado de \theta (em radianos ou graus, desde que usemos \cos\theta e \sin\theta compatíveis);
um vetor a ser rotacionado será v\in\mathbb{R}^{3};
objetivo prático: dar uma fórmula para calcular o vetor rotacionado e mostrar passo a passo um exemplo numérico.
Passo 2
Ideia geométrica e decomposição do vetor (a chave para entender a rotação).
Qualquer vetor v pode ser escrito como soma de duas partes: componente paralela ao eixo e componente ortogonal ao eixo. Isso facilita, porque a rotação deixa a componente paralela inalterada e gira apenas a componente ortogonal.
A projeção (componente paralela) de v sobre u é
v_{\parallel} = (u\cdot v)\,u,
onde u\cdot v é o produto escalar (dot product). Aqui u\cdot v é um número e u é um vetor; o produto dá a composição escalar na direção de u.
A componente perpendicular é
v_{\perp} = v - v_{\parallel} = v - (u\cdot v)\,u.
Geometricamente, v_{\perp} está num plano ortogonal a u.
Explicando o produto vetorial que também aparece: o produto vetorial u\times v é um vetor perpendicular tanto a u quanto a v, com magnitude \|u\times v\| = \|u\|\,\|v\|\,|\sin\varphi|, onde \varphi é o ângulo entre u e v; sua direção segue a regra da mão direita.
Passo 3
Fórmula de rotação (Rodrigues) e interpretação passo a passo.
A rotação de v em torno do eixo unitário u por ângulo \theta é dada por
v_{\parallel}=(u\cdot v)u é a parte que fica fixa (não gira) porque está sobre o eixo;
\cos\theta\,v_{\perp} reduz a componente perpendicular pelo fator \cos\theta — isto é o efeito do cosseno no comprimento da projeção do vetor após giro no plano perpendicular;
\sin\theta\,(u\times v) adiciona a componente perpendicular ortogonal à anterior, gerando a rotação dentro do plano perpendicular. O sinal de \sin\theta define o sentido (orientação) da rotação segundo a regra da mão direita com vetor u.
Esta é a chamada fórmula de Rodrigues; é prática porque usa operações vetoriais simples (produto escalar, produto vetorial, soma de vetores).
Passo 4
Forma matricial da rotação (útil para computação).
Podemos escrever a rotação como multiplicação por uma matriz R\in\mathbb{R}^{3\times 3}:
R = \cos\theta\,I + (1-\cos\theta)\,u\,u^{T} + \sin\theta\,[u]_{\times},
onde:
I é a matriz identidade 3\times 3;
u\,u^{T} é a matriz 3\times3 que representa o projétil: se u=(u_{1},u_{2},u_{3})^{T} então
Exemplo 1 (simples, conferir entendimento): rotacionar em torno do eixo z.
Dados: u=(0,0,1), v=(1,0,0), \theta=\pi/2 (isto é, 90^\circ). Pelo resultado conhecido,
Observação intuitiva: a rotação por 120^\circ ao redor do eixo na direção (1,1,1) permuta as coordenadas; aqui (1,0,0) vai para (0,1,0). Verificar esse tipo de simetria mentalmente é útil na prova para checar contas.
Passo 7
Resumo prático para a prova (mini-checklist que você pode seguir na hora, sem pânico):
Certifique-se de que o eixo u está normalizado; se não, calcule u/\|u\|.
Calcule u\cdot v e forme v_{\parallel} e v_{\perp}.
Calcule u\times v.
Use Rodrigues: v_{\text{rot}} = v_{\parallel} + \cos\theta\,v_{\perp} + \sin\theta\,(u\times v).
Opcional: se precisar de matriz, calcule R = \cos\theta I + (1-\cos\theta) u u^{T} + \sin\theta [u]_{\times} e multiplique R v.
Pequeno incentivo: se fizer os passos com calma e checar sinais de \sin\theta e \cos\theta, a aplicação é direta — e repetir o pequeno exemplo com eixo z ajuda a ganhar confiança.