Para quaisquer duas bases ortonormais \alpha=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\} \subset V e \beta=\left\{u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}\right\} \subset V, existe um operador ortogonal T: V \rightarrow V tal que T v_{i}=u_{i}, i=1, \ldots, n. Se as duas bases são formadas pelos vetores
\begin{gathered} v_{1}=\frac{1}{3}(1,2,2), v_{2}=\frac{1}{3}(2,1,-2), v_{3}=\frac{1}{3}(2,-2,1) \mathrm{e} \\\ u_{1}=\frac{1}{7}(2,3,6), u_{2}=\frac{1}{7}(6,2,-3), u_{3}=\frac{1}{7}(3,-6,2) \mathrm{em} \mathbb{R}^{3}, \end{gathered}
determine a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases ortonormais de \mathbb{R}^{3} e pede a matriz do operador ortogonal T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} na base canônica tal que T v_{i}=u_{i} para i=1,2,3.
Dados fornecidos (peguei os vetores do enunciado):
v_{1}=\frac{1}{3}(1,2,2),\quad v_{2}=\frac{1}{3}(2,1,-2),\quad v_{3}=\frac{1}{3}(2,-2,1),
u_{1}=\frac{1}{7}(2,3,6),\quad u_{2}=\frac{1}{7}(6,2,-3),\quad u_{3}=\frac{1}{7}(3,-6,2).
O que se pede: determinar a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^{3} (ou seja, a matriz A tal que A x representa T(x) em coordenadas canônicas).

Passo 2

Estratégia e justificativa do método (explicando a ideia de forma didática e sem pular etapas).
Seja V a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3} escritas na base canônica, e seja U a matriz cujas colunas são u_{1},u_{2},u_{3}. A condição T v_{i}=u_{i} para todo i pode ser escrita em bloco como
A V = U,
onde A é a matriz de T na base canônica (isso vem do fato de que aplicar A às colunas de V dá as colunas de U). Portanto
A = U V^{-1}.
Agora, como as colunas de V são uma base ortonormal, a matriz V é uma matriz ortogonal, ou seja, V^{-1}=V^{T}. (Aqui dou uma pausa para explicar: matriz ortogonal é aquela cujas colunas formam um sistema ortonormal; algebraicamente isso significa V^{T}V=I, logo V^{-1}=V^{T}.) Assim obtemos a fórmula prática
A = U V^{T}.
Esse é o caminho mais direto e prático para calcular A. Vou agora aplicar essa igualdade e calcular passo a passo.

Passo 3

Escrevendo explicitamente as matrizes V e U (colunas são os vetores dados).
Matriz V (colunas v_{1},v_{2},v_{3}):
V = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\quad\text{(aqui vou escrever corretamente abaixo em forma compacta)}
Melhor escrevendo direto as colunas:
V = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\\ \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.
Matriz U (colunas u_{1},u_{2},u_{3}):
U = \begin{pmatrix} \frac{2}{7} & \frac{6}{7} & \frac{3}{7} \\\ \frac{3}{7} & \frac{2}{7} & -\frac{6}{7} \\\ \frac{6}{7} & -\frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix}.
(Fiz isto pegando os vetores do enunciado e colocando cada um como coluna da matriz.)]

Passo 4

Fatorando constantes para simplificar a multiplicação.
Observe que podemos escrever V=\dfrac{1}{3}M e U=\dfrac{1}{7}N, com
M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\\\ 2 & 1 & -2 \\\\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix},\qquad N=\begin{pmatrix} 2 & 6 & 3 \\\\ 3 & 2 & -6 \\\\ 6 & -3 & 2 \end{pmatrix}.
Então, usando A=U V^{T},
A = \frac{1}{7}N \left(\frac{1}{3}M\right)^{T} = \frac{1}{21}\,N M^{T}.
Note que M é simétrica (verificando entradas), então M^{T}=M. Logo
A = \frac{1}{21}\,N M.

Passo 5

Calcular o produto P=N M por entrada (vou mostrar cada produto escalar para você poder refazer na prova).
Defino P = N M. A entrada P_{ij} é o produto escalar da i-ésima linha de N com a j-ésima coluna de M.
Primeira linha de N é (2,6,3).
Colunas de M são c_{1}=(1,2,2), c_{2}=(2,1,-2), c_{3}=(2,-2,1).
Calcule:
P_{11}=(2,6,3)\cdot(1,2,2)=2\cdot1+6\cdot2+3\cdot2=2+12+6=20,
P_{12}=(2,6,3)\cdot(2,1,-2)=2\cdot2+6\cdot1+3\cdot(-2)=4+6-6=4,
P_{13}=(2,6,3)\cdot(2,-2,1)=2\cdot2+6\cdot(-2)+3\cdot1=4-12+3=-5.

Passo 6

Segunda e terceira linhas do produto P.
Segunda linha de N é (3,2,-6). Calculamos com as mesmas colunas de M:
P_{21}=(3,2,-6)\cdot(1,2,2)=3\cdot1+2\cdot2+(-6)\cdot2=3+4-12=-5,
P_{22}=(3,2,-6)\cdot(2,1,-2)=3\cdot2+2\cdot1+(-6)\cdot(-2)=6+2+12=20,
P_{23}=(3,2,-6)\cdot(2,-2,1)=3\cdot2+2\cdot(-2)+(-6)\cdot1=6-4-6=-4.
Terceira linha de N é (6,-3,2):
P_{31}=(6,-3,2)\cdot(1,2,2)=6\cdot1+(-3)\cdot2+2\cdot2=6-6+4=4,
P_{32}=(6,-3,2)\cdot(2,1,-2)=6\cdot2+(-3)\cdot1+2\cdot(-2)=12-3-4=5,
P_{33}=(6,-3,2)\cdot(2,-2,1)=6\cdot2+(-3)\cdot(-2)+2\cdot1=12+6+2=20.

Passo 7

Montando P e dividindo por 21 para obter A.
Com os resultados acima,
P = N M = \begin{pmatrix} 20 & 4 & -5 \\\\ -5 & 20 & -4 \\\\ 4 & 5 & 20 \end{pmatrix}.
Portanto
A = \frac{1}{21}P = \frac{1}{21}\begin{pmatrix} 20 & 4 & -5 \\\\ -5 & 20 & -4 \\\\ 4 & 5 & 20 \end{pmatrix}.

Passo 8

Simplificando para escrita final (cada entrada como fração).
Escrevendo cada entrada explicitamente:
A=\begin{pmatrix} \frac{20}{21} & \frac{4}{21} & -\frac{5}{21} \\\\ -\frac{5}{21} & \frac{20}{21} & -\frac{4}{21} \\\ \frac{4}{21} & \frac{5}{21} & \frac{20}{21} \end{pmatrix}.
Se quiser conferir rápido: A é ortogonal (colunas de A são imagens de uma base ortonormal e permanecem ortonormais), então A^{T}A=I — isso serve como checagem na prova.

Resposta

\begin{pmatrix} \frac{20}{21} & \frac{4}{21} & -\frac{5}{21} \\\\ -\frac{5}{21} & \frac{20}{21} & -\frac{4}{21} \\\ \frac{4}{21} & \frac{5}{21} & \frac{20}{21} \end{pmatrix}

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