Para quaisquer duas bases ortonormais \alpha=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\} \subset V e \beta=\left\{u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}\right\} \subset V, existe um operador ortogonal T: V \rightarrow V tal que T v_{i}=u_{i}, i=1, \ldots, n. Se as duas bases são formadas pelos vetores
determine a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado dá duas bases ortonormais de \mathbb{R}^{3} e pede a matriz do operador ortogonal T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} na base canônica tal que T v_{i}=u_{i} para i=1,2,3.
Dados fornecidos (peguei os vetores do enunciado):
O que se pede: determinar a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^{3} (ou seja, a matriz A tal que A x representa T(x) em coordenadas canônicas).
Passo 2
Estratégia e justificativa do método (explicando a ideia de forma didática e sem pular etapas).
Seja V a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3} escritas na base canônica, e seja U a matriz cujas colunas são u_{1},u_{2},u_{3}. A condição T v_{i}=u_{i} para todo i pode ser escrita em bloco como
A V = U,
onde A é a matriz de T na base canônica (isso vem do fato de que aplicar A às colunas de V dá as colunas de U). Portanto
A = U V^{-1}.
Agora, como as colunas de V são uma base ortonormal, a matriz V é uma matriz ortogonal, ou seja, V^{-1}=V^{T}. (Aqui dou uma pausa para explicar: matriz ortogonal é aquela cujas colunas formam um sistema ortonormal; algebraicamente isso significa V^{T}V=I, logo V^{-1}=V^{T}.) Assim obtemos a fórmula prática
A = U V^{T}.
Esse é o caminho mais direto e prático para calcular A. Vou agora aplicar essa igualdade e calcular passo a passo.
Passo 3
Escrevendo explicitamente as matrizes V e U (colunas são os vetores dados).
Matriz V (colunas v_{1},v_{2},v_{3}):
V = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\quad\text{(aqui vou escrever corretamente abaixo em forma compacta)}
Se quiser conferir rápido: A é ortogonal (colunas de A são imagens de uma base ortonormal e permanecem ortonormais), então A^{T}A=I — isso serve como checagem na prova.