Descreva qualitativamente o movimento da partícula para
. Em sua resposta, identifique:
i. o plano em que ocorre o movimento ciclotrônico;
ii. a direção do movimento de deriva;
iii. o papel da componente inicial da velocidade paralela a
;
iv. o que muda quando se troca o sinal da carga
.
i. o plano em que ocorre o movimento ciclotrônico;
ii. a direção do movimento de deriva;
iii. o papel da componente inicial da velocidade paralela a
iv. o que muda quando se troca o sinal da carga
Passo 1
O enunciado pede uma descrição qualitativa do movimento de uma partícula carregada para
e, especificamente, que eu identifique:
i. o plano em que ocorre o movimento ciclotrônico;
ii. a direção do movimento de deriva;
iii. o papel da componente inicial da velocidade paralela a ;
iv. o que muda quando se troca o sinal da carga .
i. o plano em que ocorre o movimento ciclotrônico;
ii. a direção do movimento de deriva;
iii. o papel da componente inicial da velocidade paralela a
iv. o que muda quando se troca o sinal da carga
Informações que eu tenho explicitamente ou que são tipicamente implicadas na pergunta:
- Existe um campo magnético uniforme
(constante no tempo e no espaço). - A partícula tem carga
e massa . - A velocidade inicial pode ser decomposta em uma componente perpendicular a
, que chamo de , e uma componente paralela a , que chamo de . - Pode haver ou não um campo elétrico uniforme
. Vou explicar os dois casos (sem e com perpendicular a ), porque a noção de “movimento de deriva” normalmente aparece quando há também um ou quando o campo magnético é não uniforme.
Passo 2
Princípio físico básico: força de Lorentz.
- A equação do movimento é
- Explanação didática: o termo
é um produto vetorial que produz um vetor sempre perpendicular tanto a quanto a . Logo, a força magnética é sempre perpendicular à velocidade instantânea quando só há e, por isso, não faz trabalho nem altera a energia cinética, somente muda a direção da velocidade — isto gera movimento circular (ou helicoidal, se houver componente paralela). - Consequência imediata: a componente da velocidade paralela a
não sofre força magnética (pois ), então essa componente é constante se não houver força externa nessa direção.
Passo 3
Movimento ciclotrônico (giro) e suas fórmulas úteis.
- Para a componente perpendicular
a força magnética fornece a força centrípeta necessária para uma circulação de raio (raio de Larmor) com pulsação ciclotrônica . Igualando força centrípeta e força magnética em módulo:
- Daí obtemos o raio de Larmor:
e a frequência angular (pulsação) ciclotrônica:
- Interpretação passo a passo: quanto maior
ou , menor o raio; quanto maior ou , maior o raio. A frequência de rotação depende de — o sentido da rotação depende do sinal de (ver passo sobre o sinal). - Plano do movimento ciclotrônico: como a força é sempre perpendicular a
, o giro ocorre no plano perpendicular a . Isto responde diretamente o item (i): o movimento ciclotrônico ocorre no plano ortogonal a .
Passo 4
Deriva na presença de um campo elétrico uniforme
(caso mais comum).
- Se existe
perpendicular a , além da rotação rápida há um deslocamento médio do centro da órbita (guiding center) com velocidade de deriva dada por
- Derivação resumida e leve: procura-se uma solução onde a velocidade se escreve como soma de uma parte média constante
e uma oscilação rápida (giro). Substituindo na equação de movimento e fazendo a média temporal, obtém-se a expressão acima. Nota importante: nesta expressão a carga e a massa cancelam — por isso a deriva é independente de e . - Direção da deriva:
é perpendicular tanto a quanto a , e seu sentido é o de . Isso responde (ii): a direção do movimento de deriva é dada por (mais precisamente na direção de ) e tem magnitude . - Observação: se
, essa deriva simples desaparece; ainda assim podem existir outras deriva (grad‑B, curvatura) em campos magnéticos não uniformes, e essas dependem do sinal de .
Passo 5
Papel da componente paralela
— item (iii).
- A componente paralela é imune à força magnética (porque
). Então permanece constante (na ausência de campos elétricos na direção de ). - Consequência geométrica: a combinação do giro na superfície perpendicular a
com um movimento constante ao longo de produz uma hélice em torno das linhas de campo magnético. Se também houver , o centro da hélice desloca-se com a velocidade de deriva , de modo que a trajetória é uma hélice cujo eixo também se desloca rigidamente (o que, visto numa escala maior, é um movimento helicoidal com center driftando). - Em palavras amigáveis:
controla o quanto a partícula sobe/anda ao longo das linhas de campo — um componente paralelo não altera o giro, apenas transforma o círculo em hélice.
Passo 6
Efeito de trocar o sinal da carga
— item (iv).
- Nas quantidades que usam
(por exemplo e em módulo), apenas o sentido da rotação muda; o módulo do raio e da frequência dependem de . Em fórmulas:
- Sentido da rotação: mudar o sinal de
inverte o sentido angular da circulação no plano perpendicular a . Usando a regra da mão direita: para a rotação segue a regra da mão direita; para é o sentido oposto. - Deriva E×B e sinal de
: a deriva é independente de . Portanto, trocar o sinal de não altera a velocidade nem a direção da deriva E×B. Contudo, outras deriva que surgem em campos não uniformes (por exemplo deriva de grad‑B) dependem do sinal de e mudam de direção quando muda de sinal. - Resumo prático: trocar o sinal de
inverte o giro, não altera nem , e — para o caso E×B — não altera a deriva média.
Passo 7
Pequenas ilustrações numéricas e intuição.
- Exemplo rápido: se
aponta para cima (eixo ) e aponta para a direita (eixo ), então aponta para (usar a regra do produto vetorial). Ou seja, a deriva será para . A partícula gira em círculos no plano (plano perpendicular a ), e se tiver ela também se desloca ao longo de , formando uma hélice que simultaneamente se desloca em . - Motivação para a prova: lembrar sempre de decompor
em e , usar e pensar em médias temporais se houver .
Resposta
i. O movimento ciclotrônico ocorre no plano perpendicular a
.
ii. Se houver um campo elétrico uniforme , a partícula tem uma deriva média com velocidade
; a direção da deriva é a direção de
(perpendicular a ambos).
iii. A componente inicial paralela a ,
, permanece constante (não é afetada pela força magnética) e transforma o círculo perpendicular numa hélice ao longo das linhas de campo; combinada com
desloca o eixo dessa hélice.
iv. Trocar o sinal de inverte o sentido de rotação ciclotrônica (o ângulo temporal gira no sentido oposto) mas não altera o módulo de
nem de
; a deriva E×B permanece inalterada (independente de
), enquanto outras deriva dependentes de gradientes de
mudariam de direção com o sinal de
.
ii. Se houver um campo elétrico uniforme
iii. A componente inicial paralela a
iv. Trocar o sinal de