Descreva qualitativamente o movimento da partícula para t>0. Em sua resposta, identifique:
i. o plano em que ocorre o movimento ciclotrônico;
ii. a direção do movimento de deriva;
iii. o papel da componente inicial da velocidade paralela a \overrightarrow{\boldsymbol{B}};
iv. o que muda quando se troca o sinal da carga q.

Passo 1

O enunciado pede uma descrição qualitativa do movimento de uma partícula carregada para t>0 e, especificamente, que eu identifique:
i. o plano em que ocorre o movimento ciclotrônico;
ii. a direção do movimento de deriva;
iii. o papel da componente inicial da velocidade paralela a \overrightarrow{\boldsymbol{B}};
iv. o que muda quando se troca o sinal da carga q.
Informações que eu tenho explicitamente ou que são tipicamente implicadas na pergunta:
  • Existe um campo magnético uniforme \overrightarrow{\boldsymbol{B}} (constante no tempo e no espaço).
  • A partícula tem carga q e massa m.
  • A velocidade inicial pode ser decomposta em uma componente perpendicular a \overrightarrow{\boldsymbol{B}}, que chamo de \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{\perp}(0), e uma componente paralela a \overrightarrow{\boldsymbol{B}}, que chamo de \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{\parallel}(0).
  • Pode haver ou não um campo elétrico uniforme \overrightarrow{\boldsymbol{E}}. Vou explicar os dois casos (sem \overrightarrow{\boldsymbol{E}} e com \overrightarrow{\boldsymbol{E}} perpendicular a \overrightarrow{\boldsymbol{B}}), porque a noção de “movimento de deriva” normalmente aparece quando há também um \overrightarrow{\boldsymbol{E}} ou quando o campo magnético é não uniforme.

Passo 2

Princípio físico básico: força de Lorentz.
  • A equação do movimento é
m\frac{d\overrightarrow{\boldsymbol{v}}}{dt}=q\bigl(\overrightarrow{\boldsymbol{E}}+\overrightarrow{\boldsymbol{v}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}\bigr).
  • Explanação didática: o termo \overrightarrow{\boldsymbol{v}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}} é um produto vetorial que produz um vetor sempre perpendicular tanto a \overrightarrow{\boldsymbol{v}} quanto a \overrightarrow{\boldsymbol{B}}. Logo, a força magnética é sempre perpendicular à velocidade instantânea quando só há \overrightarrow{\boldsymbol{B}} e, por isso, não faz trabalho nem altera a energia cinética, somente muda a direção da velocidade — isto gera movimento circular (ou helicoidal, se houver componente paralela).
  • Consequência imediata: a componente da velocidade paralela a \overrightarrow{\boldsymbol{B}} não sofre força magnética (pois \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{\parallel}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}=\overrightarrow{\boldsymbol{0}}), então essa componente é constante se não houver força externa nessa direção.

Passo 3

Movimento ciclotrônico (giro) e suas fórmulas úteis.
  • Para a componente perpendicular \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{\perp} a força magnética fornece a força centrípeta necessária para uma circulação de raio r_L (raio de Larmor) com pulsação ciclotrônica \omega_c. Igualando força centrípeta e força magnética em módulo:
m\frac{v_{\perp}^2}{r_L}=|q|\,v_{\perp}B.
  • Daí obtemos o raio de Larmor:
r_L=\frac{m v_{\perp}}{|q| B},
e a frequência angular (pulsação) ciclotrônica:
\omega_c=\frac{|q| B}{m}.
  • Interpretação passo a passo: quanto maior |q| ou B, menor o raio; quanto maior v_{\perp} ou m, maior o raio. A frequência de rotação depende de |q|B/m — o sentido da rotação depende do sinal de q (ver passo sobre o sinal).
  • Plano do movimento ciclotrônico: como a força é sempre perpendicular a \overrightarrow{\boldsymbol{B}}, o giro ocorre no plano perpendicular a \overrightarrow{\boldsymbol{B}}. Isto responde diretamente o item (i): o movimento ciclotrônico ocorre no plano ortogonal a \overrightarrow{\boldsymbol{B}}.

Passo 4

Deriva na presença de um campo elétrico uniforme \overrightarrow{\boldsymbol{E}}\perp\overrightarrow{\boldsymbol{B}} (caso mais comum).
  • Se existe \overrightarrow{\boldsymbol{E}} perpendicular a \overrightarrow{\boldsymbol{B}}, além da rotação rápida há um deslocamento médio do centro da órbita (guiding center) com velocidade de deriva dada por
\overrightarrow{\boldsymbol{v}}_d=\frac{\overrightarrow{\boldsymbol{E}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}}{B^2}.
  • Derivação resumida e leve: procura-se uma solução onde a velocidade se escreve como soma de uma parte média constante \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_d e uma oscilação rápida (giro). Substituindo na equação de movimento e fazendo a média temporal, obtém-se a expressão acima. Nota importante: nesta expressão a carga q e a massa m cancelam — por isso a deriva \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_d é independente de q e m.
  • Direção da deriva: \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_d é perpendicular tanto a \overrightarrow{\boldsymbol{E}} quanto a \overrightarrow{\boldsymbol{B}}, e seu sentido é o de \overrightarrow{\boldsymbol{E}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}. Isso responde (ii): a direção do movimento de deriva é dada por \overrightarrow{\boldsymbol{E}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}} (mais precisamente na direção de \overrightarrow{\boldsymbol{E}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}) e tem magnitude |\overrightarrow{\boldsymbol{v}}_d|=E/B.
  • Observação: se \overrightarrow{\boldsymbol{E}}=\overrightarrow{\boldsymbol{0}}, essa deriva simples desaparece; ainda assim podem existir outras deriva (grad‑B, curvatura) em campos magnéticos não uniformes, e essas dependem do sinal de q.

Passo 5

Papel da componente paralela \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{\parallel}(0) — item (iii).
  • A componente paralela é imune à força magnética (porque \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{\parallel}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}=\overrightarrow{\boldsymbol{0}}). Então \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{\parallel} permanece constante (na ausência de campos elétricos na direção de \overrightarrow{\boldsymbol{B}}).
  • Consequência geométrica: a combinação do giro na superfície perpendicular a \overrightarrow{\boldsymbol{B}} com um movimento constante ao longo de \overrightarrow{\boldsymbol{B}} produz uma hélice em torno das linhas de campo magnético. Se também houver \overrightarrow{\boldsymbol{E}}\perp\overrightarrow{\boldsymbol{B}}, o centro da hélice desloca-se com a velocidade de deriva \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_d, de modo que a trajetória é uma hélice cujo eixo também se desloca rigidamente (o que, visto numa escala maior, é um movimento helicoidal com center driftando).
  • Em palavras amigáveis: \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{\parallel} controla o quanto a partícula sobe/anda ao longo das linhas de campo — um componente paralelo não altera o giro, apenas transforma o círculo em hélice.

Passo 6

Efeito de trocar o sinal da carga q — item (iv).
  • Nas quantidades que usam |q| (por exemplo r_L e \omega_c em módulo), apenas o sentido da rotação muda; o módulo do raio e da frequência dependem de |q|. Em fórmulas:
\omega_c=\frac{|q|B}{m},\qquad r_L=\frac{m v_{\perp}}{|q|B}.
  • Sentido da rotação: mudar o sinal de q inverte o sentido angular da circulação no plano perpendicular a \overrightarrow{\boldsymbol{B}}. Usando a regra da mão direita: para q>0 a rotação segue a regra da mão direita; para q<0 é o sentido oposto.
  • Deriva E×B e sinal de q: a deriva \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_d=\dfrac{\overrightarrow{\boldsymbol{E}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}}{B^2} é independente de q. Portanto, trocar o sinal de q não altera a velocidade nem a direção da deriva E×B. Contudo, outras deriva que surgem em campos não uniformes (por exemplo deriva de grad‑B) dependem do sinal de q e mudam de direção quando q muda de sinal.
  • Resumo prático: trocar o sinal de q inverte o giro, não altera |\omega_c| nem |r_L|, e — para o caso E×B — não altera a deriva média.

Passo 7

Pequenas ilustrações numéricas e intuição.
  • Exemplo rápido: se \overrightarrow{\boldsymbol{B}} aponta para cima (eixo +z) e \overrightarrow{\boldsymbol{E}} aponta para a direita (eixo +x), então \overrightarrow{\boldsymbol{E}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}} aponta para +x\times+z=-y (usar a regra do produto vetorial). Ou seja, a deriva será para -y. A partícula gira em círculos no plano xy (plano perpendicular a \overrightarrow{\boldsymbol{B}}), e se tiver \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{\parallel} ela também se desloca ao longo de z, formando uma hélice que simultaneamente se desloca em -y.
  • Motivação para a prova: lembrar sempre de decompor \overrightarrow{\boldsymbol{v}}(0) em \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{\perp}(0) e \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{\parallel}(0), usar \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=q\overrightarrow{\boldsymbol{v}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}} e pensar em médias temporais se houver \overrightarrow{\boldsymbol{E}}.

Resposta

i. O movimento ciclotrônico ocorre no plano perpendicular a \overrightarrow{\boldsymbol{B}}.
ii. Se houver um campo elétrico uniforme \overrightarrow{\boldsymbol{E}}\perp\overrightarrow{\boldsymbol{B}}, a partícula tem uma deriva média com velocidade \displaystyle \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_d=\frac{\overrightarrow{\boldsymbol{E}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}}{B^2}; a direção da deriva é a direção de \overrightarrow{\boldsymbol{E}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}} (perpendicular a ambos).
iii. A componente inicial paralela a \overrightarrow{\boldsymbol{B}}, \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{\parallel}(0), permanece constante (não é afetada pela força magnética) e transforma o círculo perpendicular numa hélice ao longo das linhas de campo; combinada com \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_d desloca o eixo dessa hélice.
iv. Trocar o sinal de q inverte o sentido de rotação ciclotrônica (o ângulo temporal gira no sentido oposto) mas não altera o módulo de \omega_c=\dfrac{|q|B}{m} nem de r_L=\dfrac{m v_{\perp}}{|q|B}; a deriva E×B permanece inalterada (independente de q), enquanto outras deriva dependentes de gradientes de B mudariam de direção com o sinal de q.

Exercícios relacionados