Para que valores de
, o movimento da partícula está limitado a um plano? Qual é este movimento e que plano é este?
Passo 1
O enunciado que você mandou é curto: pergunta “Para que valores de
, o movimento da partícula está limitado a um plano? Qual é este movimento e que plano é este?”.
Informações dadas (apenas o que aparece no enunciado que recebi):
Informações dadas (apenas o que aparece no enunciado que recebi):
- A única coisa explícita é a presença de um parâmetro
na pergunta.
O que o enunciado pede: - Determinar os valores de
que fazem o movimento ficar confinado a um plano. - Descrever qual é esse movimento (tipo de trajetória).
- Identificar qual é o plano onde a partícula se move.
Observação importante: não foi fornecida a lei da força, a equação do movimento, nem as condições iniciais. Sem saber como a força (ou as equações) dependem de
, não há como calcular valores específicos de
. Vou, portanto, explicar didaticamente o critério geral que garante que o movimento seja planar e dar exemplos típicos. Assim você aprende a aplicar isso ao enunciado completo quando tiver a lei da força com
.
Passo 2
Ideia central (muito usada em mecânica): momento angular e torque. Vou explicar isso com calma.
Definição do momento angular de uma partícula de massa
:
onde
é o vetor posição (medido a partir da origem escolhida) e
a velocidade.
A taxa de variação do momento angular é dada por
onde
é a força resultante e usamos
. O vetor
é o torque (momento de força) em relação à origem.
Interpretação simples: se
para todo o tempo, então
e
é constante.
Passo 3
Por que
constante implica movimento plano? Explico passo a passo.
- Por definição de produto vetorial,
é perpendicular tanto a quanto a em qualquer instante. Logo, para todo tempo vale
- Se
é constante e não nulo ( ), isto significa que em todos os instantes os vetores e são ortogonais a um mesmo vetor fixo . Portanto todos os vetores posição da partícula pertencem ao plano ortogonal a ; ou seja, a trajetória inteira fica contida no plano
que é um plano que passa pela origem (origem usada no cálculo de
) e é perpendicular a
.
- Caso
(momento angular nulo), a partícula tem e colineares em todos os instantes e o movimento é colinear (reta que passa pela origem) — isso é um caso degenerado de “plano” (uma reta).
Conclusão útil: para a partícula ficar confinada a um plano é suficiente (e na prática necessária se avaliarmos torque invariante) que o momento angular em relação à origem seja conservado e não nulo.
Passo 4
Tradução prática do critério em termos da força: quando o torque é zero.
A condição para
é
Isto significa que a força
deve ser sempre paralela ao vetor posição
(ou ser nula). Forças que satisfazem isso chamamos de forças centrais (dependem de
e apontam na direção radial). Em termos práticos:
- Se
(para alguma função escalar ), então e o momento angular é conservado. Exemplos clássicos: força gravitacional , força elástica central , etc. Para qualquer parâmetro escalar que apareça apenas como fator multiplicativo dessa força central (por exemplo ), o movimento será planar para qualquer . - Se a força tem componentes não-paralelas a
(por exemplo com não colinear com ), então em geral e varia — o movimento não precisa ficar em um mesmo plano.
Passo 5
Tipos de movimento que aparecem quando a condição de força central vale:
- Para uma força central conservativa típica (por exemplo
ou ), a trajetória é uma curva plana: círculo, elipse, hipérbole, parabola, ou uma oscilação radial, dependendo da energia e da forma de . Em todos esses casos o plano é o plano perpendicular ao vetor (fixo). - Se
então a trajetória é uma reta radial (movimento unidimensional sobre a linha que passa pela origem).
Passo 6
Como isso se aplica a um problema que dependa de
?
- Se a lei de força do problema tem a forma
e é sempre paralelo a (isto é, ), então o movimento é planar para qualquer . Exemplos: (oscilador isotrópico), (lei newtoniana com constante ). - Se a dependência em
mistura termos que não são paralelos a , então os valores de que anulam a componente transversal são os que tornam . Para decidir isso precisa-se da expressão explícita de em função de ; sem essa expressão não dá para resolver numericamente quais funcionam.
Passo 7
Resumo bem prático e o que eu faria na prova:
- Regra rápida: verifique
. Se for zero para toda trajetória (i.e. é sempre radial), então o movimento é planar. O plano é o plano perpendicular ao momento angular constante . - Se a força depende de
, substitua a lei e imponha (ou verifique que ). Resolva essa condição para . - Se
(condição inicial), então a partícula segue uma reta radial (caso degenerado).
Resposta
Não é possível determinar valores específicos de
porque o enunciado está incompleto (não foi dada a lei da força dependente de
nem as condições iniciais). Em termos gerais, o movimento está confinado a um plano exatamente quando
para todo o tempo (isto é, quando a força é central/sempre paralela a
); nesse caso o plano é o plano perpendicular ao momento angular constante
. Se
depende de
como um fator escalar multiplicando uma força radial (por exemplo
), então o movimento é planar para todo
.