Para que valores de \alpha, o movimento da partícula está limitado a um plano? Qual é este movimento e que plano é este?

Passo 1

O enunciado que você mandou é curto: pergunta “Para que valores de \alpha, o movimento da partícula está limitado a um plano? Qual é este movimento e que plano é este?”.
Informações dadas (apenas o que aparece no enunciado que recebi):
  • A única coisa explícita é a presença de um parâmetro \alpha na pergunta.
    O que o enunciado pede:
  • Determinar os valores de \alpha que fazem o movimento ficar confinado a um plano.
  • Descrever qual é esse movimento (tipo de trajetória).
  • Identificar qual é o plano onde a partícula se move.
Observação importante: não foi fornecida a lei da força, a equação do movimento, nem as condições iniciais. Sem saber como a força (ou as equações) dependem de \alpha, não há como calcular valores específicos de \alpha. Vou, portanto, explicar didaticamente o critério geral que garante que o movimento seja planar e dar exemplos típicos. Assim você aprende a aplicar isso ao enunciado completo quando tiver a lei da força com \alpha.

Passo 2

Ideia central (muito usada em mecânica): momento angular e torque. Vou explicar isso com calma.
Definição do momento angular de uma partícula de massa m:
\mathbf{L} = \mathbf{r}\times m\mathbf{v},
onde \mathbf{r} é o vetor posição (medido a partir da origem escolhida) e \mathbf{v} a velocidade.
A taxa de variação do momento angular é dada por
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{r}\times m\mathbf{a}=\mathbf{r}\times\mathbf{F},
onde \mathbf{F} é a força resultante e usamos \mathbf{a}=\dot{\mathbf{v}}. O vetor \boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F} é o torque (momento de força) em relação à origem.
Interpretação simples: se \mathbf{r}\times\mathbf{F}=\mathbf{0} para todo o tempo, então \dfrac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{0} e \mathbf{L} é constante.

Passo 3

Por que \mathbf{L} constante implica movimento plano? Explico passo a passo.
  1. Por definição de produto vetorial, \mathbf{L} é perpendicular tanto a \mathbf{r} quanto a \mathbf{v} em qualquer instante. Logo, para todo tempo vale
\mathbf{L}\cdot\mathbf{r}=0,\qquad \mathbf{L}\cdot\mathbf{v}=0.
  1. Se \mathbf{L} é constante e não nulo ( \mathbf{L}\neq\mathbf{0}), isto significa que em todos os instantes os vetores \mathbf{r} e \mathbf{v} são ortogonais a um mesmo vetor fixo \mathbf{L}. Portanto todos os vetores posição da partícula pertencem ao plano ortogonal a \mathbf{L}; ou seja, a trajetória inteira fica contida no plano
\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3 \mid \mathbf{L}\cdot\mathbf{x}=0\},
que é um plano que passa pela origem (origem usada no cálculo de \mathbf{L}) e é perpendicular a \mathbf{L}.
  1. Caso \mathbf{L}=\mathbf{0} (momento angular nulo), a partícula tem \mathbf{r} e \mathbf{v} colineares em todos os instantes e o movimento é colinear (reta que passa pela origem) — isso é um caso degenerado de “plano” (uma reta).
Conclusão útil: para a partícula ficar confinada a um plano é suficiente (e na prática necessária se avaliarmos torque invariante) que o momento angular em relação à origem seja conservado e não nulo.

Passo 4

Tradução prática do critério em termos da força: quando o torque é zero.
A condição para \dfrac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{0} é
\mathbf{r}\times\mathbf{F}(\mathbf{r},\mathbf{v},t)=\mathbf{0}\quad\text{para todo o tempo}.
Isto significa que a força \mathbf{F} deve ser sempre paralela ao vetor posição \mathbf{r} (ou ser nula). Forças que satisfazem isso chamamos de forças centrais (dependem de |\mathbf{r}| e apontam na direção radial). Em termos práticos:
  • Se \mathbf{F}(\mathbf{r},\mathbf{v},t)=\varphi(|\mathbf{r}|)\,\mathbf{r} (para alguma função escalar \varphi), então \mathbf{r}\times\mathbf{F}=\mathbf{0} e o momento angular é conservado. Exemplos clássicos: força gravitacional \mathbf{F}\propto -\dfrac{\mathbf{r}}{r^3}, força elástica central \mathbf{F}\propto -\mathbf{r}, etc. Para qualquer parâmetro escalar \alpha que apareça apenas como fator multiplicativo dessa força central (por exemplo \mathbf{F}=\alpha\varphi(r)\mathbf{r}), o movimento será planar para qualquer \alpha.
  • Se a força tem componentes não-paralelas a \mathbf{r} (por exemplo \mathbf{F}=\alpha\mathbf{u}(\mathbf{r})+\dots com \mathbf{u} não colinear com \mathbf{r}), então em geral \mathbf{r}\times\mathbf{F}\neq\mathbf{0} e \mathbf{L} varia — o movimento não precisa ficar em um mesmo plano.

Passo 5

Tipos de movimento que aparecem quando a condição de força central vale:
  • Para uma força central conservativa típica (por exemplo \mathbf{F}=-k\mathbf{r}/r^3 ou \mathbf{F}=-k\mathbf{r}), a trajetória é uma curva plana: círculo, elipse, hipérbole, parabola, ou uma oscilação radial, dependendo da energia e da forma de \varphi(r). Em todos esses casos o plano é o plano perpendicular ao vetor \mathbf{L} (fixo).
  • Se \mathbf{L}=\mathbf{0} então a trajetória é uma reta radial (movimento unidimensional sobre a linha que passa pela origem).

Passo 6

Como isso se aplica a um problema que dependa de \alpha?
  • Se a lei de força do problema tem a forma \mathbf{F}(\mathbf{r},\mathbf{v})=\alpha\,\mathbf{g}(\mathbf{r},\mathbf{v}) e \mathbf{g}(\mathbf{r},\mathbf{v}) é sempre paralelo a \mathbf{r} (isto é, \mathbf{g}(\mathbf{r},\mathbf{v})=\psi(|\mathbf{r}|)\mathbf{r}), então o movimento é planar para qualquer \alpha. Exemplos: \mathbf{F}=\alpha(-\mathbf{r}) (oscilador isotrópico), \mathbf{F}=\alpha(-\mathbf{r}/r^3) (lei newtoniana com constante \alpha).
  • Se a dependência em \alpha mistura termos que não são paralelos a \mathbf{r}, então os valores de \alpha que anulam a componente transversal são os que tornam \mathbf{r}\times\mathbf{F}=0. Para decidir isso precisa-se da expressão explícita de \mathbf{F} em função de \alpha; sem essa expressão não dá para resolver numericamente quais \alpha funcionam.

Passo 7

Resumo bem prático e o que eu faria na prova:
  • Regra rápida: verifique \mathbf{r}\times\mathbf{F}. Se for zero para toda trajetória (i.e. \mathbf{F} é sempre radial), então o movimento é planar. O plano é o plano perpendicular ao momento angular constante \mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}.
  • Se a força depende de \alpha, substitua a lei \mathbf{F}(\alpha) e imponha \mathbf{r}\times\mathbf{F}(\alpha)=\mathbf{0} (ou verifique que \mathbf{F}(\alpha)=\varphi(r)\mathbf{r}). Resolva essa condição para \alpha.
  • Se \mathbf{L}=0 (condição inicial), então a partícula segue uma reta radial (caso degenerado).

Resposta

Não é possível determinar valores específicos de \alpha porque o enunciado está incompleto (não foi dada a lei da força dependente de \alpha nem as condições iniciais). Em termos gerais, o movimento está confinado a um plano exatamente quando
\mathbf{r}\times\mathbf{F}(\mathbf{r},\mathbf{v},t)=\mathbf{0}
para todo o tempo (isto é, quando a força é central/sempre paralela a \mathbf{r}); nesse caso o plano é o plano perpendicular ao momento angular constante \mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}. Se \mathbf{F} depende de \alpha como um fator escalar multiplicando uma força radial (por exemplo \mathbf{F}=\alpha\,\varphi(r)\mathbf{r}), então o movimento é planar para todo \alpha.

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