O módulo da velocidade da partícula permanece constante durante todo o movimento? Justifique sua resposta discutindo o trabalho realizado pelas forças elétrica e magnética.

Passo 1

O enunciado pergunta claramente: “O módulo da velocidade da partícula permanece constante durante todo o movimento? Justifique discutindo o trabalho realizado pelas forças elétrica e magnética.”
Informações dadas (implícitas no enunciado): há uma partícula com carga elétrica q que se move com velocidade \mathbf{v}(t) sob a ação de campos \mathbf{E} (elétrico) e \mathbf{B} (magnético). É pedido discutir o trabalho (energia) que cada força realiza e concluir se o módulo da velocidade (ou seja, a rapidez v=\|\mathbf{v}\|) permanece constante.

Passo 2

Escrevendo a força total que age na carga (força de Lorentz):
\mathbf{F}=q\bigl(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr).
Aqui:
  • q é a carga da partícula (pode ser positiva ou negativa);
  • \mathbf{E} é o campo elétrico;
  • \mathbf{v} é o vetor velocidade da partícula;
  • \mathbf{B} é o campo magnético;
  • \mathbf{v}\times\mathbf{B} é o produto vetorial que resulta em um vetor perpendicular tanto a \mathbf{v} quanto a \mathbf{B}.

Passo 3

Lembrete físico-matemático importante (teorema energia-trabalho): a potência (taxa de variação da energia cinética K) dada pela força total é o produto escalar da força pela velocidade:
\frac{dK}{dt}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}.
Também usamos que a energia cinética é \displaystyle K=\frac{1}{2}m v^{2}, onde m é a massa e v=\|\mathbf{v}\| é o módulo da velocidade. Portanto, se \frac{dK}{dt}=0 durante todo o movimento, então v permanece constante.

Passo 4

Substituindo a força de Lorentz na expressão da potência:
\frac{dK}{dt}=q\bigl(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr)\cdot\mathbf{v} = q\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{v} + q\,(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}.
Agora note o termo magnético. Pelo fato geométrico do produto vetorial, o vetor \mathbf{v}\times\mathbf{B} é sempre perpendicular a \mathbf{v}. Consequentemente o produto escalar entre eles é zero:
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}=0.
Logo a contribuição magnética para a potência é nula.

Passo 5

Com isso obtemos a relação simples e fundamental:
\frac{dK}{dt}=q\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}.
Interpretação física clara:
  • A força magnética não realiza trabalho em hipótese nenhuma (o termo magnético contribui zero para \frac{dK}{dt}). Então a força magnética, sozinha, não altera a energia cinética nem o módulo da velocidade; ela só muda a direção da velocidade (ex.: movimento circular uniforme em \mathbf{B} uniforme).
  • A força elétrica realiza trabalho igual a q\int \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}. Se \mathbf{E}\cdot\mathbf{v}\neq0 em média ao longo do tempo, então \frac{dK}{dt}\neq0 e a energia cinética muda — isto é, o módulo da velocidade varia.

Passo 6

Condições e exemplos práticos (para fixar na prova):
  • Caso puramente magnético ( \mathbf{E}=\mathbf{0}): \frac{dK}{dt}=0 e assim v é constante — por isso uma carga numa \mathbf{B} uniforme faz movimento circular com rapidez constante.
  • Caso puramente elétrico ( \mathbf{B}=\mathbf{0}): \frac{dK}{dt}=q\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}. Em geral a velocidade muda (a partícula acelera se q\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}>0 ou desacelera se q\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}<0).
  • Caso combinado \mathbf{E} e \mathbf{B}: o módulo da velocidade permanece constante somente se a parte elétrica não fizer trabalho ao longo do movimento, ou seja se
\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}=0\quad\text{para todo o tempo},
por exemplo se \mathbf{E}=\mathbf{0} ou (muito mais restrito) se \mathbf{E} permanecer sempre perpendicular à \mathbf{v} durante todo o trajeto. Na prática, essa última condição é pouco comum de ocorrer espontaneamente; portanto, geralmente a presença de \mathbf{E} leva a mudança do módulo da velocidade.

Passo 7

Resumo didático para a prova (memorização útil): “A força magnética nunca realiza trabalho; a força elétrica pode realizar. Logo o módulo da velocidade é constante somente quando o trabalho total é nulo — no caso típico isso ocorre quando não há campo elétrico ou quando \mathbf{E}\cdot\mathbf{v}=0 ao longo de todo o percurso.”

Resposta

Não necessariamente. A força magnética não realiza trabalho ( (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}=0), mas a força elétrica realiza trabalho q\int\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}; portanto o módulo da velocidade permanece constante somente se q\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}=0 durante todo o movimento (por exemplo \mathbf{E}=\mathbf{0} ou \mathbf{E}\perp\mathbf{v} sempre).

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