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Descreva (quantitativamente) o espectro do íon hélio,
.
Descreva (quantitativamente) o espectro do íon hélio,
Passo 1
O enunciado pede: “Descreva (quantitativamente) o espectro do íon hélio,
.”
Informações que o enunciado nos dá (e que são essenciais):
Informações que o enunciado nos dá (e que são essenciais):
- O alvo é o íon
: trata‑se de um átomo de hélio que perdeu um elétron, portanto tem apenas um elétron ligado ao núcleo. - O número atômico do núcleo é
.
O que se espera obter na descrição quantitativa (isso é o que vamos responder): níveis de energia, expressão para os comprimentos de onda/freqüências das linhas (fórmula de Rydberg ajustada para ), valores numéricos de algumas linhas importantes (por exemplo as primeiras linhas das séries análogas a Lyman e Balmer), e os limites de série (limite de ionização).
Passo 2
Conceito físico e fórmula fundamental (sem derivar formalmente): íons com um único elétron (átomos hidrogenoides) têm níveis de energia que seguem a mesma lei do hidrogênio, com dependência em
. A expressão prática que usamos é a energia do nível
:
onde:
-
é a energia do nível (usualmente em electronvolts, eV), com para níveis ligados; -
é a carga nuclear (para , ); -
é a energia de Rydberg para elétron ligado ao núcleo com massa efetiva igual à massa do elétron (o valor usual é ); -
é o número quântico principal.
Explicação didática rápida: essa fórmula vem da solução do problema de um elétron ligado a uma carga central (modelo de Bohr ou solução da equação de Schrödinger para potencial coulombiano). O fator
aparece porque o potencial atrativo é proporcional a
, o que aumenta as energias (em módulo) por
.
Passo 3
Correção por massa reduzida (por que aparece e efeito numérico): na fórmula exata é preciso substituir a massa do elétron
pela massa reduzida
do sistema elétron–núcleo:
onde
é a massa do núcleo. Isso corrige levemente as energias porque o núcleo não é infinitamente pesado. A forma prática da correção é multiplicar
por
. Para
o núcleo tem massa aproximadamente
(quatro unidades de massa atômica), o que dá um fator
(ou seja, uma diferença muito pequena, da ordem de
). Para a maioria dos cálculos práticos básicos podemos usar
sem essa correção; se quiser precisão muito alta basta multiplicar por
. Neste desenvolvimento usarei a forma prática com
e mostrarei também a influência da massa reduzida quando relevante.
Passo 4
Aplicando para
: com
temos
Substituindo numericamente
:
(Se incluir a correção da massa reduzida multiplicar por
, obtendo
.)
Interpretação prática: o nível fundamental
tem energia aproximadamente
;
tem
(note que
),
tem
, etc.
Passo 5
Fórmula para as transições (comprimento de onda / frequência): a energia do fóton emitido numa transição
(
) é
A relação para o número de onda (recíproco do comprimento de onda) é a forma de Rydberg:
onde
é a constante de Rydberg para massa nuclear infinita (
). Para
(com
) e desprezando a pequena correção de massa reduzida, isto reduz-se a
A frequência é
e o comprimento de onda em metros é
(com
se desejar
em nm).
Passo 6
Cálculos numéricos de exemplo (linhas mais importantes). Vou dar valores aproximados usando
e
.
- Energia do nível
:
- Transição análoga à Lyman-
( ):
- Transição
(Lyman- -like):
- Limite da série Lyman (ionização do nível
, ):
- Exemplo da série análoga a Balmer: linha
(Balmer- -like):
Observações numéricas: todas as linhas de
são mais energéticas (comprimentos de onda menores) que as linhas análogas do hidrogênio por um fator
. Assim, muitas linhas caem no ultravioleta profundo / extremo ultravioleta (EUV) — por exemplo, Lyman-
de
fica em
(EUV), enquanto as linhas de Balmer ficam na UV-vácuo.
Passo 7
Resumo conceitual e como usar isso na prova (dicas práticas):
- Regra rápida para
: trate-o como "hidrogênio com ". Então, sempre multiplique as energias do hidrogênio por (ou divida os comprimentos de onda por 4). - Fórmula pronta para usar:
- Para calcular rapidamente uma linha: calcule
, multiplique por para achar (em ) ou por para achar em eV; então (em nm). - Atenção se precisarem de precisão alta: inclua o fator de massa reduzida
.
Resposta
Exemplos numéricos:
Linha análoga a Balmer-