6 Imagine duas partículas não interagentes, cada uma com massa m, no poço quadrado infinito. Se uma está no estado \psi_{n} (Equação 2.28) e a outra no estado \psi_{\ell}(\ell \neq n), calcule \left\langle\left(x_{1}-x_{2}\right)\right\rangle, supondo
(a) que sejam partículas distinguíveis,
(b) que sejam bósons idênticos e

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Há duas partículas não interagentes, cada uma de massa m, confinadas no poço quadrado infinito. O enunciado refere à função de onda \psi_{n} (Equação 2.28), que adotarei na forma usual para o poço entre x=0 e x=a:
\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right),\qquad n=1,2,\dots
(essa é a forma padrão e normalizada).
  • Uma partícula está no estado \psi_{n} e a outra no estado \psi_{\ell} com \ell\neq n.
  • O que se pede é calcular \left\langle x_{1}-x_{2}\right\rangle nos dois casos:
    (a) partículas distinguíveis;
    (b) bósons idênticos (ou seja, a função de onda total deve ser simetrizada).
Observação: todas as integrais sobre coordenadas espaciais ocorrerão em x\in[0,a]. A resolução começa agora.

Passo 2

Primeiro preciso do valor de \langle x\rangle para um estado estacionário \psi_{n} no poço. Definição:
\langle x\rangle_n=\int_0^a \psi_n^*(x)\,x\,\psi_n(x)\,dx=\int_0^a x\,|\psi_n(x)|^2\,dx.
Substituindo \psi_n:
\langle x\rangle_n=\int_0^a x\left(\frac{2}{a}\sin^2\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\right)dx=\frac{2}{a}\int_0^a x\sin^2\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)dx.
Vou calcular essa integral passo a passo usando a identidade trigonométrica
\sin^2\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Aplicando:
\langle x\rangle_n=\frac{2}{a}\int_0^a x\cdot\frac{1-\cos\!\left(\frac{2n\pi x}{a}\right)}{2}\,dx =\frac{1}{a}\int_0^a x\,dx-\frac{1}{a}\int_0^a x\cos\!\left(\frac{2n\pi x}{a}\right)dx.
Calcule as duas integrais separadamente.
  1. Primeira integral:
\int_0^a x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^a=\frac{a^2}{2}.
  1. Segunda integral: defina k=\dfrac{2n\pi}{a}. Então precisamos de
\int_0^a x\cos(kx)\,dx.
Integramos por partes: tome u=x, dv=\cos(kx)dx. Então du=dx, v=\dfrac{\sin(kx)}{k}. Assim
\int_0^a x\cos(kx)\,dx=\left.\frac{x\sin(kx)}{k}\right|_0^a-\int_0^a \frac{\sin(kx)}{k}\,dx =\frac{a\sin(ka)}{k}-\frac{1}{k}\int_0^a \sin(kx)\,dx.
Calcule \int_0^a \sin(kx)\,dx=\left[-\frac{\cos(kx)}{k}\right]_0^a=\frac{1-\cos(ka)}{k}. Portanto
\int_0^a x\cos(kx)\,dx=\frac{a\sin(ka)}{k}-\frac{1}{k}\cdot\frac{1-\cos(ka)}{k} =\frac{a\sin(ka)}{k}-\frac{1-\cos(ka)}{k^2}.
Agora use k=\dfrac{2n\pi}{a}. Então ka=2n\pi, o que dá \sin(ka)=0 e \cos(ka)=1. Logo a expressão fica
\int_0^a x\cos\!\left(\frac{2n\pi x}{a}\right)dx=0-\frac{1-1}{k^2}=0.
Voltando a \langle x\rangle_n:
\langle x\rangle_n=\frac{1}{a}\cdot\frac{a^2}{2}-\frac{1}{a}\cdot 0=\frac{a}{2}.
Comentário amigável: isso significa que, para qualquer nível n, o valor médio de x no poço [0,a] é o ponto médio a/2 — intuitivo, pois as funções de probabilidade |\psi_n|^2 são simétricas em torno do centro do poço.

Passo 3

Caso (a): partículas distinguíveis.
Se as partículas são distinguíveis e uma está em \psi_n(x) e a outra em \psi_\ell(x), a função de onda total (produto) é
\Psi_{\text{dist}}(x_1,x_2)=\psi_n(x_1)\psi_\ell(x_2).
A expectativa procurada é
\langle x_1-x_2\rangle=\iint_{0}^{a}\Psi_{\text{dist}}^*(x_1,x_2)\,(x_1-x_2)\,\Psi_{\text{dist}}(x_1,x_2)\,dx_1dx_2.
Como o produto se separa, a integral se separa em soma de termos:
\langle x_1-x_2\rangle=\langle x_1\rangle-\langle x_2\rangle
onde \langle x_1\rangle é a média de x no estado \psi_n e \langle x_2\rangle é a média no estado \psi_\ell. Pelo resultado do Passo 2,
\langle x_1\rangle=\langle x\rangle_n=\frac{a}{2},\qquad \langle x_2\rangle=\langle x\rangle_\ell=\frac{a}{2}.
Portanto
\langle x_1-x_2\rangle=\frac{a}{2}-\frac{a}{2}=0.

Passo 4

Caso (b): bósons idênticos (função de onda simétrica).
Para bósons idênticos, a função de onda total (normalizada) é a combinação simétrica:
\Psi_{B}(x_1,x_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\psi_n(x_1)\psi_\ell(x_2)+\psi_\ell(x_1)\psi_n(x_2)\Big).
Queremos
\langle x_1-x_2\rangle=\iint_0^a \Psi_B^*(x_1,x_2)\,(x_1-x_2)\,\Psi_B(x_1,x_2)\,dx_1dx_2.
Método conceitual (mais curto e robusto): considere a operação de permutar as partículas (trocar os rótulos 1\leftrightarrow2). O operador de permutação P age trocando x_1 e x_2. Para bósons temos P\Psi_B=\Psi_B (a função é simétrica). O operador A=x_1-x_2 muda de sinal sob permutação:
P\,A\,P = P\,(x_1-x_2)\,P = x_2-x_1 = -A.
Então a esperança vale
\langle A\rangle=\langle\Psi_B|A|\Psi_B\rangle=\langle\Psi_B|P^\dagger A P|\Psi_B\rangle=\langle\Psi_B|(-A)|\Psi_B\rangle=-\langle A\rangle.
A única solução para \langle A\rangle = -\langle A\rangle é \langle A\rangle=0. Portanto
\langle x_1-x_2\rangle=0.
Se quiser uma verificação por integral: expandindo \Psi_B^*\Psi_B aparecem termos que são simétricos sob troca x_1\leftrightarrow x_2 e termos cruzados que se transformam com sinal trocado quando multiplicados por x_1-x_2; ao trocar as variáveis de integração em um dos termos estes se cancelam, resultando em zero. O argumento por simetria acima é mais curto e didático.

Resposta

(a) 0
(b) 0

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