6 Imagine duas partículas não interagentes, cada uma com massa m, no poço quadrado infinito. Se uma está no estado \psi_{n} (Equação 2.28) e a outra no estado \psi_{\ell}(\ell \neq n), calcule \left\langle\left(x_{1}-x_{2}\right)\right\rangle, supondo
(a) que sejam partículas distinguíveis,
(b) que sejam bósons idênticos e
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Há duas partículas não interagentes, cada uma de massa m, confinadas no poço quadrado infinito. O enunciado refere à função de onda \psi_{n} (Equação 2.28), que adotarei na forma usual para o poço entre x=0 e x=a:
Uma partícula está no estado \psi_{n} e a outra no estado \psi_{\ell} com \ell\neq n.
O que se pede é calcular \left\langle x_{1}-x_{2}\right\rangle nos dois casos:
(a) partículas distinguíveis;
(b) bósons idênticos (ou seja, a função de onda total deve ser simetrizada).
Observação: todas as integrais sobre coordenadas espaciais ocorrerão em x\in[0,a]. A resolução começa agora.
Passo 2
Primeiro preciso do valor de \langle x\rangle para um estado estacionário \psi_{n} no poço. Definição:
Comentário amigável: isso significa que, para qualquer nível n, o valor médio de x no poço [0,a] é o ponto médio a/2 — intuitivo, pois as funções de probabilidade |\psi_n|^2 são simétricas em torno do centro do poço.
Passo 3
Caso (a): partículas distinguíveis.
Se as partículas são distinguíveis e uma está em \psi_n(x) e a outra em \psi_\ell(x), a função de onda total (produto) é
Método conceitual (mais curto e robusto): considere a operação de permutar as partículas (trocar os rótulos 1\leftrightarrow2). O operador de permutação P age trocando x_1 e x_2. Para bósons temos P\Psi_B=\Psi_B (a função é simétrica). O operador A=x_1-x_2 muda de sinal sob permutação:
P\,A\,P = P\,(x_1-x_2)\,P = x_2-x_1 = -A.
Então a esperança vale
\langle A\rangle=\langle\Psi_B|A|\Psi_B\rangle=\langle\Psi_B|P^\dagger A P|\Psi_B\rangle=\langle\Psi_B|(-A)|\Psi_B\rangle=-\langle A\rangle.
A única solução para \langle A\rangle = -\langle A\rangle é \langle A\rangle=0. Portanto
\langle x_1-x_2\rangle=0.
Se quiser uma verificação por integral: expandindo \Psi_B^*\Psi_B aparecem termos que são simétricos sob troca x_1\leftrightarrow x_2 e termos cruzados que se transformam com sinal trocado quando multiplicados por x_1-x_2; ao trocar as variáveis de integração em um dos termos estes se cancelam, resultando em zero. O argumento por simetria acima é mais curto e didático.