Questão 1. O divergente de um campo vetorial \overrightarrow{\mathbf{A}} em um dado ponto P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) é definido como o fluxo líquido de \overrightarrow{\mathbf{A}} por unidade de volume quando este volume se reduz a zero em torno de P :
\nabla \cdot \overrightarrow{\mathbf{A}}=\lim _{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\oint_{S} \overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \mathrm{~d} \overrightarrow{\mathbf{S}}}{\Delta V}
(a) Mostre que, para o sistema de coordenadas retangulares, o divergente de \overrightarrow{\mathbf{A}} é dado por:
\nabla \cdot \overrightarrow{\mathbf{A}}=\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}
(b) Utilize a definição acima para deduzir o teorema do divergente:
\oint_{S} \overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \mathrm{~d} \overrightarrow{\mathbf{S}}=\int_{V} \nabla \cdot \overrightarrow{\mathbf{A}} \mathrm{~d} V

Passo 1

O enunciado dá a definição do divergente num ponto P como o fluxo líquido por unidade de volume quando o volume em torno de P tende a zero:
\nabla \cdot \overrightarrow{\mathbf{A}}=\lim_{\Delta V\rightarrow 0}\frac{\oint_{S}\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}}{\Delta V}.
O que se pede:
(a) Mostrar, em coordenadas retangulares (cartesianas), que
\nabla \cdot \overrightarrow{\mathbf{A}}=\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}.
(b) A partir da definição deduzir o teorema do divergente (teorema de Gauss):
\oint_{S}\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}=\int_{V}\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{A}}\\ \mathrm{d}V.
Informações importantes que vamos usar:
  • Considerar um campo \overrightarrow{\mathbf{A}}=(A_x,A_y,A_z) suficientemente suave (derivadas parciais contínuas).
  • Para (a) usaremos uma caixa retangular infinitesimal centrada em P de arestas \Delta x,\Delta y,\Delta z e calcularemos fluxos nas seis faces.
  • Para (b) vamos particionar um volume V em muitas caixas pequenas e somar fluxos, usando o resultado do item (a).

Passo 2

Entendendo o elemento de superfície e o sinal: para uma face plana, o vetor de superfície orientado é \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}=\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S, onde \hat{\mathbf{n}} é a normal unitária apontando para fora do volume. Em coordenadas cartesianas, as seis faces da caixa têm normais \pm\hat{\mathbf{i}},\pm\hat{\mathbf{j}},\pm\hat{\mathbf{k}} e áreas \Delta y\Delta z,\Delta x\Delta z,\Delta x\Delta y respectivamente. Vamos calcular o fluxo através de cada face usando uma aproximação de primeira ordem (expansão linear) das componentes de \overrightarrow{\mathbf{A}}.

Passo 3

Posicionamento da caixa: coloque uma caixa centrada em P(x_0,y_0,z_0) com faces em
x=x_0\pm\frac{\Delta x}{2},\qquad y=y_0\pm\frac{\Delta y}{2},\qquad z=z_0\pm\frac{\Delta z}{2}.
O volume é \Delta V=\Delta x\,\Delta y\,\Delta z. Vamos calcular o fluxo através das duas faces perpendiculares ao eixo x. Nessas faces o vetor normal é \pm\hat{\mathbf{i}}, e a componente relevante do campo é A_x.

Passo 4

Fluxo pela face em x=x_0+\frac{\Delta x}{2} (face direita): a área é \Delta y\,\Delta z e a normal é +\hat{\mathbf{i}}. O campo ali pode ser aproximado por expansão de Taylor em x até primeira ordem:
A_x\!\left(x_0+\tfrac{\Delta x}{2},y_0,z_0\right)=A_x(x_0,y_0,z_0)+\tfrac{\Delta x}{2}\,\frac{\partial A_x}{\partial x}\bigg|_{P}+o(\Delta x),
onde o(\Delta x) representa termos de ordem superior que tornam-se desprezíveis quando \Delta x\to 0. Portanto o fluxo através dessa face é
\Phi_{x,+} = A_x\!\left(x_0+\tfrac{\Delta x}{2},y_0,z_0\right)\,\Delta y\,\Delta z.

Passo 5

Fluxo pela face em x=x_0-\frac{\Delta x}{2} (face esquerda): a normal é -\hat{\mathbf{i}}, então o fluxo sai com sinal negativo e o campo ali é
A_x\!\left(x_0-\tfrac{\Delta x}{2},y_0,z_0\right)=A_x(x_0,y_0,z_0)-\tfrac{\Delta x}{2}\,\frac{\partial A_x}{\partial x}\bigg|_{P}+o(\Delta x).
O fluxo (positivo quando sai) através dessa face é
\Phi_{x,-} = -A_x\!\left(x_0-\tfrac{\Delta x}{2},y_0,z_0\right)\,\Delta y\,\Delta z.
O sinal negativo vem da normal apontar para -\hat{\mathbf{i}} enquanto usamos a fórmula \overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}.

Passo 6

Somando os dois fluxos nas faces em x:
\begin{aligned} \Phi_x &= \Phi_{x,+}+\Phi_{x,-} \\\ &= \Big[A_x\!\left(x_0+\tfrac{\Delta x}{2}\right)-A_x\!\left(x_0-\tfrac{\Delta x}{2}\right)\Big]\Delta y\,\Delta z \\\ &= \left(\Delta x\,\frac{\partial A_x}{\partial x}\bigg|_{P} + o(\Delta x)\right)\Delta y\,\Delta z \\\ &= \frac{\partial A_x}{\partial x}\bigg|_{P}\,\Delta x\,\Delta y\,\Delta z + o(\Delta x)\,\Delta y\,\Delta z. \end{aligned}
Aqui usei as expansões de Taylor e cancelei o termo A_x(x_0,y_0,z_0) que aparece com sinais opostos. Observe que o(\Delta x)\,\Delta y\,\Delta z é de ordem superior em \Delta x comparado com \Delta V.

Passo 7

Repetindo o mesmo raciocínio para as faces perpendiculares a y e a z, obtemos de modo análogo:
\Phi_y=\frac{\partial A_y}{\partial y}\bigg|_{P}\,\Delta x\,\Delta y\,\Delta z + o(\Delta y)\,\Delta x\,\Delta z,
\Phi_z=\frac{\partial A_z}{\partial z}\bigg|_{P}\,\Delta x\,\Delta y\,\Delta z + o(\Delta z)\,\Delta x\,\Delta y.
Somando as três contribuições, o fluxo total através de todas as faces da caixa é
\oint_{S}\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}} = \left(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)\bigg|_{P}\Delta V + o(\text{tamanho})\cdot\Delta V,
onde os termos o(\text{tamanho})\cdot\Delta V representam termos de ordem superior que vão a zero mais rápido que \Delta V quando \Delta x,\Delta y,\Delta z\to 0.

Passo 8

Divida pela \Delta V e aplique o limite da definição:
\frac{\oint_{S}\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}}{\Delta V} = \left(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)\bigg|_{P} + \frac{o(\text{tamanho})\cdot\Delta V}{\Delta V}.
Ao fazer \Delta V\to 0 os termos de ordem superior desaparecem, ficando
\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{A}}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z},
que é exatamente o resultado pedido em (a). Pequena mensagem de ânimo: esse cálculo é só a versão formal da ideia “fluxo por unidade de volume = soma das variações locais das componentes” — se foi confuso no primeiro passe, releia com calma as expansões de Taylor; é normal precisar de duas leituras.

Passo 9

Agora vamos ao teorema do divergente (item (b)). Ideia geral: particione o volume V em N caixas pequenas não sobrepostas \{V_k\} (pense num gradeamento) de volumes \Delta V_k. A superfície total S do volume V será composta pelas faces externas dessas caixas; as faces internas aparecem duas vezes com normais opostas entre caixas vizinhas.

Passo 10

Aplique a identidade local (resultado de (a)) a cada caixa V_k. Para a caixa k temos, por definição e pelo cálculo local,
\oint_{S_k}\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}} = \int_{V_k}\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{A}}\\ \mathrm{d}V,
onde S_k é a superfície da caixa V_k. Somando sobre todas as caixas:
\sum_{k=1}^{N}\oint_{S_k}\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}} = \sum_{k=1}^{N}\int_{V_k}\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{A}}\\ \mathrm{d}V.

Passo 11

Observe o lado esquerdo: cada face interna entre duas caixas aparece duas vezes na soma, uma com normal \hat{\mathbf{n}} quando considerada pela caixa k e outra com normal -\hat{\mathbf{n}} quando considerada pela caixa vizinha k'. Assim os fluxos através de faces internas cancelam par a par. Fica somente o fluxo através das faces que pertencem à superfície externa S do volume V. Portanto
\sum_{k=1}^{N}\oint_{S_k}\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}} = \oint_{S}\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}.

Passo 12

No lado direito, como os V_k particionam V, a soma das integrais sobre cada V_k é a integral sobre V:
\sum_{k=1}^{N}\int_{V_k}\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{A}}\\ \mathrm{d}V = \int_{V}\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{A}}\\ \mathrm{d}V.
Assim obtemos, para qualquer partição finita,
\oint_{S}\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}} = \int_{V}\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{A}}\\ \mathrm{d}V.

Passo 13

Para tornar o argumento limítrofe (mais rigoroso): refine a malha de caixas fazendo N\to\infty e \max_k \operatorname{diam}(V_k)\to 0. Se \nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{A}} for contínuo em V, a soma de Riemann do lado direito converge para a integral sobre V. O cancelamento das faces internas permanece exato para cada partição; então o limite da soma dos fluxos sobre as caixas é o fluxo sobre a superfície externa S. Isso dá a versão integral clássica do teorema do divergente (teorema de Gauss). Vale enfatizar: a hipótese de suavidade do campo (no mínimo derivadas parciais contínuas) garante que as aproximações locais usadas são válidas e as somas convergem.

Resposta

\nabla \cdot \overrightarrow{\mathbf{A}}=\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}
\oint_{S}\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}=\int_{V}\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{A}}\\ \mathrm{d}V

Exercícios relacionados