Questão 1. O divergente de um campo vetorial \overrightarrow{\mathbf{A}} em um dado ponto P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) é definido como o fluxo líquido de \overrightarrow{\mathbf{A}} por unidade de volume quando este volume se reduz a zero em torno de P :
Considerar um campo \overrightarrow{\mathbf{A}}=(A_x,A_y,A_z) suficientemente suave (derivadas parciais contínuas).
Para (a) usaremos uma caixa retangular infinitesimal centrada em P de arestas \Delta x,\Delta y,\Delta z e calcularemos fluxos nas seis faces.
Para (b) vamos particionar um volume V em muitas caixas pequenas e somar fluxos, usando o resultado do item (a).
Passo 2
Entendendo o elemento de superfície e o sinal: para uma face plana, o vetor de superfície orientado é \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}=\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S, onde \hat{\mathbf{n}} é a normal unitária apontando para fora do volume. Em coordenadas cartesianas, as seis faces da caixa têm normais \pm\hat{\mathbf{i}},\pm\hat{\mathbf{j}},\pm\hat{\mathbf{k}} e áreas \Delta y\Delta z,\Delta x\Delta z,\Delta x\Delta y respectivamente. Vamos calcular o fluxo através de cada face usando uma aproximação de primeira ordem (expansão linear) das componentes de \overrightarrow{\mathbf{A}}.
Passo 3
Posicionamento da caixa: coloque uma caixa centrada em P(x_0,y_0,z_0) com faces em
O volume é \Delta V=\Delta x\,\Delta y\,\Delta z. Vamos calcular o fluxo através das duas faces perpendiculares ao eixo x. Nessas faces o vetor normal é \pm\hat{\mathbf{i}}, e a componente relevante do campo é A_x.
Passo 4
Fluxo pela face em x=x_0+\frac{\Delta x}{2} (face direita): a área é \Delta y\,\Delta z e a normal é +\hat{\mathbf{i}}. O campo ali pode ser aproximado por expansão de Taylor em x até primeira ordem:
O fluxo (positivo quando sai) através dessa face é
\Phi_{x,-} = -A_x\!\left(x_0-\tfrac{\Delta x}{2},y_0,z_0\right)\,\Delta y\,\Delta z.
O sinal negativo vem da normal apontar para -\hat{\mathbf{i}} enquanto usamos a fórmula \overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}.
Passo 6
Somando os dois fluxos nas faces em x:
\begin{aligned} \Phi_x &= \Phi_{x,+}+\Phi_{x,-} \\\ &= \Big[A_x\!\left(x_0+\tfrac{\Delta x}{2}\right)-A_x\!\left(x_0-\tfrac{\Delta x}{2}\right)\Big]\Delta y\,\Delta z \\\ &= \left(\Delta x\,\frac{\partial A_x}{\partial x}\bigg|_{P} + o(\Delta x)\right)\Delta y\,\Delta z \\\ &= \frac{\partial A_x}{\partial x}\bigg|_{P}\,\Delta x\,\Delta y\,\Delta z + o(\Delta x)\,\Delta y\,\Delta z. \end{aligned}
Aqui usei as expansões de Taylor e cancelei o termo A_x(x_0,y_0,z_0) que aparece com sinais opostos. Observe que o(\Delta x)\,\Delta y\,\Delta z é de ordem superior em \Delta x comparado com \Delta V.
Passo 7
Repetindo o mesmo raciocínio para as faces perpendiculares a y e a z, obtemos de modo análogo:
onde os termos o(\text{tamanho})\cdot\Delta V representam termos de ordem superior que vão a zero mais rápido que \Delta V quando \Delta x,\Delta y,\Delta z\to 0.
Passo 8
Divida pela \Delta V e aplique o limite da definição:
que é exatamente o resultado pedido em (a). Pequena mensagem de ânimo: esse cálculo é só a versão formal da ideia “fluxo por unidade de volume = soma das variações locais das componentes” — se foi confuso no primeiro passe, releia com calma as expansões de Taylor; é normal precisar de duas leituras.
Passo 9
Agora vamos ao teorema do divergente (item (b)). Ideia geral: particione o volume V em N caixas pequenas não sobrepostas \{V_k\} (pense num gradeamento) de volumes \Delta V_k. A superfície total S do volume V será composta pelas faces externas dessas caixas; as faces internas aparecem duas vezes com normais opostas entre caixas vizinhas.
Passo 10
Aplique a identidade local (resultado de (a)) a cada caixa V_k. Para a caixa k temos, por definição e pelo cálculo local,
Observe o lado esquerdo: cada face interna entre duas caixas aparece duas vezes na soma, uma com normal \hat{\mathbf{n}} quando considerada pela caixa k e outra com normal -\hat{\mathbf{n}} quando considerada pela caixa vizinha k'. Assim os fluxos através de faces internas cancelam par a par. Fica somente o fluxo através das faces que pertencem à superfície externa S do volume V. Portanto
Para tornar o argumento limítrofe (mais rigoroso): refine a malha de caixas fazendo N\to\infty e \max_k \operatorname{diam}(V_k)\to 0. Se \nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{A}} for contínuo em V, a soma de Riemann do lado direito converge para a integral sobre V. O cancelamento das faces internas permanece exato para cada partição; então o limite da soma dos fluxos sobre as caixas é o fluxo sobre a superfície externa S. Isso dá a versão integral clássica do teorema do divergente (teorema de Gauss). Vale enfatizar: a hipótese de suavidade do campo (no mínimo derivadas parciais contínuas) garante que as aproximações locais usadas são válidas e as somas convergem.