7 Imagine que você tenha três partículas, uma no estado \psi_{a}(x), uma no estado \psi_{b}(x) e uma no estado \psi_{c}(x). Supondo que \psi_{a}(x), \psi_{b}(x), \psi_{c}(x) sejam ortonormais, construa estados de três partículas (semelhantes às equações 5.15,5.16 e 5.17 ) que representem (a) partículas distinguíveis, (b) bósons idênticos e (c) férmions idênticos. Tenha em mente que (b) deve ser completamente simétrico na troca de qualquer par de partículas e (c) deve ser completamente antissimétrico, no mesmo sentido.
Comentário: há um pequeno truque para se construir funções de onda completamente antissimétricas. Elabore o determinante de Slater, cuja primeira linha é
\psi_{a}\left(x_{1}\right) \psi_{b}\left(x_{1}\right) \psi_{c}\left(x_{1}\right)
cuja segunda linha é \psi_{a}\left(x_{2}\right) \psi_{b}\left(x_{2}\right) \psi_{c}\left(x_{2}\right) e assim por diante (esse mecanismo funciona para qualquer número de partículas).

Passo 1

O enunciado dá três funções de uma só partícula, todas ortonormais: \psi_a(x), \psi_b(x) e \psi_c(x). Pede para construir estados de três partículas (funções de onda de três coordenadas x_1,x_2,x_3) que representem, explicitamente:
  • (a) três partículas distinguíveis;
  • (b) três bósons idênticos (a função deve ser totalmente simétrica sob troca de qualquer par de partículas);
  • (c) três férmions idênticos (a função deve ser totalmente antissimétrica sob troca de qualquer par de partículas).
Informações relevantes fornecidas:
  • As funções \psi_a(x), \psi_b(x), \psi_c(x) são ortonormais entre si.
  • Deve-se garantir a simetria/antissimetria completa apropriada.
  • É sugerido usar o determinante de Slater para construir a função antissimétrica.

Passo 2

Construção para partículas distinguíveis (caso (a)) e comentário sobre normalização.
Para partículas distinguíveis podemos simplesmente atribuir cada estado a uma partícula distinta. Uma escolha natural é:
\Psi_{\text{D}}(x_1,x_2,x_3)=\psi_a(x_1)\,\psi_b(x_2)\,\psi_c(x_3).
Explicação didática e normalização:
  • Essa é uma função produto: a partícula 1 está no estado \psi_a, a 2 em \psi_b e a 3 em \psi_c.
  • Como \psi_a,\psi_b,\psi_c são ortonormais, o produto é normalizado automaticamente no espaço de três partículas: calculemos a norma ao quadrado
\langle\Psi_{\text{D}}|\Psi_{\text{D}}\rangle=\int dx_1dx_2dx_3\,|\psi_a(x_1)|^2|\psi_b(x_2)|^2|\psi_c(x_3)|^2
que factoriza em três integrais individuais que valem 1 cada (pela ortonormalidade), logo a norma é 1.
  • Observação prática: para distinguíveis não exigimos simetria; permutações levam a estados distintos (por exemplo trocar x_1\leftrightarrow x_2 \psi_a(x_2)\psi_b(x_1)\psi_c(x_3), diferente do original).

Passo 3

Construção para bósons idênticos (caso (b)): combinação totalmente simétrica e fator de normalização.
Queremos uma função completamente simétrica sob qualquer permutação das coordenadas x_1,x_2,x_3. A forma padrão é somar todas as permutações dos ramos produto e normalizar. Escrevemos explicitamente (existem 3!=6 permutações):
\Psi_{\text{B}}(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{\sqrt{6}}\Bigl[ \psi_a(x_1)\psi_b(x_2)\psi_c(x_3) +\psi_a(x_1)\psi_c(x_2)\psi_b(x_3) +\psi_b(x_1)\psi_a(x_2)\psi_c(x_3)
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +\psi_b(x_1)\psi_c(x_2)\psi_a(x_3) +\psi_c(x_1)\psi_a(x_2)\psi_b(x_3) +\psi_c(x_1)\psi_b(x_2)\psi_a(x_3) \Bigr].
Por que o fator 1/\sqrt{6}?
  • Cada termo produto é ortonormal a qualquer outro termo distinto porque \psi_a,\psi_b,\psi_c são ortonormais. Mais formalmente,
\big\langle \psi_{i}(x_1)\psi_{j}(x_2)\psi_{k}(x_3)\mid \psi_{i'}(x_1)\psi_{j'}(x_2)\psi_{k'}(x_3)\big\rangle =\delta_{ii'}\delta_{jj'}\delta_{kk'}.
  • Então, o quadrado da norma da soma de 6 termos é a soma das normas individuais (sem termos cruzados), isto é 6. Para ter norma unitária precisamos multiplicar por 1/\sqrt{6}.
    Propriedades importantes:
  • Trocar qualquer par de coordenadas deixa a soma invariante (simetria completa).
  • Se duas das funções de uma partícula forem iguais (por exemplo \psi_a=\psi_b), a construção precisa de cuidado porque termos repetidos aparecem; com as funções ortonormais e distintas, o fator 1/\sqrt{6} é correto.

Passo 4

Construção para férmions idênticos (caso (c)): determinante de Slater e normalização.
A construção padrão e elegante é o determinante de Slater. Para três partículas:
\Psi_{\text{F}}(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{\sqrt{6}} \begin{vmatrix} \psi_a(x_1) & \psi_b(x_1) & \psi_c(x_1)\\[4pt] \psi_a(x_2) & \psi_b(x_2) & \psi_c(x_2)\\[4pt] \psi_a(x_3) & \psi_b(x_3) & \psi_c(x_3) \end{vmatrix}.
Explicação do determinante e por que ele dá antissimetria:
  • Expandindo o determinante obtém-se a soma sobre todas as permutações \pi de \{a,b,c\} com o sinal da permutação \operatorname{sgn}(\pi):
\Psi_{\text{F}}(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{\sqrt{6}}\sum_{\pi\in S_3}\operatorname{sgn}(\pi)\,\psi_{\pi(a)}(x_1)\psi_{\pi(b)}(x_2)\psi_{\pi\text{(c)}}(x_3).
  • Trocar duas coordenadas x_i e x_j corresponde a trocar duas linhas do determinante, o que muda o sinal do determinante: \Psi_{\text{F}}(\dots,x_i,\dots,x_j,\dots) = -\Psi_{\text{F}}(\dots,x_j,\dots,x_i,\dots). Assim a função é totalmente antissimétrica.
    Por que o fator 1/\sqrt{6}?
  • Igual ao caso dos bósons: os termos na expansão do determinante diferem apenas por sinais e são mutuamente ortogonais (produto de deltas), então a norma ao quadrado é 6. Logo o fator 1/\sqrt{6} normaliza.
    Consequência física importante (Princípio de exclusão de Pauli):
  • Se duas colunas do determinante são idênticas (por exemplo \psi_a=\psi_b), o determinante é zero. Portanto não existe um estado de três férmions com duas partículas ocupando o mesmo estado de uma partícula; este é o mecanismo matemático do princípio de exclusão.]

Passo 5

Verificações rápidas de propriedade (trocas e normalização) com argumentos simples — como checar na prova sem muita conta.
  1. Simetria/antissimetria por trocas:
  • Para o bóson: trocar x_1\leftrightarrow x_2 apenas permuta os termos do somatório; a soma inteira permanece igual, logo \Psi_{\text{B}} é invariante.
  • Para o férmion: trocar x_1\leftrightarrow x_2 corresponde a trocar a primeira com a segunda linha do determinante, o que muda o sinal, logo \Psi_{\text{F}}\mapsto -\Psi_{\text{F}}.
  1. Normalização com ortonormalidade:
  • Produto escalar entre dois termos produto distintos é zero; entre iguais é 1. Assim o número de termos não anuláveis na soma é 3!=6. Logo norma ao quadrado sem o fator é 6, daí o prefactor 1/\sqrt{6}.
  1. Caso particular: se duas funções de uma partícula fossem iguais (violando a condição de serem três estados distintos), para bósons é preciso reavaliar o fator por contagem de termos distintos; para férmions o estado fica automaticamente zero (proibição).

Passo 6

Resumo prático — como lembrar e reproduzir rápido na prova:
  • Distinguíveis: escreva o produto direto atribuindo estados às partículas.
  • Bósons: faça a soma de todas as permutações dos produtos e divida por \sqrt{3!} (quando as três funções são distintas e ortonormais).
  • Férmions: escreva o determinante de Slater com as funções nas colunas e as partículas nas linhas, e multiplique por 1/\sqrt{3!}. Isso garante antissimetria e normalização automática quando as funções simples são ortonormais.

Resposta

\Psi_{\text{D}}(x_1,x_2,x_3)=\psi_a(x_1)\,\psi_b(x_2)\,\psi_c(x_3)
\Psi_{\text{B}}(x_1,x_2,x_3)=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\Bigl[ \psi_a(x_1)\psi_b(x_2)\psi_c(x_3) +\psi_a(x_1)\psi_c(x_2)\psi_b(x_3) +\psi_b(x_1)\psi_a(x_2)\psi_c(x_3)
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +\psi_b(x_1)\psi_c(x_2)\psi_a(x_3) +\psi_c(x_1)\psi_a(x_2)\psi_b(x_3) +\psi_c(x_1)\psi_b(x_2)\psi_a(x_3) \Bigr]
\Psi_{\text{F}}(x_1,x_2,x_3)=\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{vmatrix} \psi_a(x_1) & \psi_b(x_1) & \psi_c(x_1)\\[4pt] \psi_a(x_2) & \psi_b(x_2) & \psi_c(x_2)\\[4pt] \psi_a(x_3) & \psi_b(x_3) & \psi_c(x_3) \end{vmatrix}]

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