7 Imagine que você tenha três partículas, uma no estado
, uma no estado
e uma no estado
. Supondo que
sejam ortonormais, construa estados de três partículas (semelhantes às equações
e 5.17 ) que representem (a) partículas distinguíveis, (b) bósons idênticos e (c) férmions idênticos. Tenha em mente que (b) deve ser completamente simétrico na troca de qualquer par de partículas e (c) deve ser completamente antissimétrico, no mesmo sentido.
Comentário: há um pequeno truque para se construir funções de onda completamente antissimétricas. Elabore o determinante de Slater, cuja primeira linha é
cuja segunda linha é
e assim por diante (esse mecanismo funciona para qualquer número de partículas).
Comentário: há um pequeno truque para se construir funções de onda completamente antissimétricas. Elabore o determinante de Slater, cuja primeira linha é
Passo 1
O enunciado dá três funções de uma só partícula, todas ortonormais:
,
e
. Pede para construir estados de três partículas (funções de onda de três coordenadas
) que representem, explicitamente:
- (a) três partículas distinguíveis;
- (b) três bósons idênticos (a função deve ser totalmente simétrica sob troca de qualquer par de partículas);
- (c) três férmions idênticos (a função deve ser totalmente antissimétrica sob troca de qualquer par de partículas).
Informações relevantes fornecidas:
- As funções
, , são ortonormais entre si. - Deve-se garantir a simetria/antissimetria completa apropriada.
- É sugerido usar o determinante de Slater para construir a função antissimétrica.
Passo 2
Construção para partículas distinguíveis (caso (a)) e comentário sobre normalização.
Para partículas distinguíveis podemos simplesmente atribuir cada estado a uma partícula distinta. Uma escolha natural é:
Explicação didática e normalização:
- Essa é uma função produto: a partícula 1 está no estado
, a 2 em e a 3 em . - Como
são ortonormais, o produto é normalizado automaticamente no espaço de três partículas: calculemos a norma ao quadrado
que factoriza em três integrais individuais que valem
cada (pela ortonormalidade), logo a norma é
.
- Observação prática: para distinguíveis não exigimos simetria; permutações levam a estados distintos (por exemplo trocar
dá , diferente do original).
Passo 3
Construção para bósons idênticos (caso (b)): combinação totalmente simétrica e fator de normalização.
Queremos uma função completamente simétrica sob qualquer permutação das coordenadas
. A forma padrão é somar todas as permutações dos ramos produto e normalizar. Escrevemos explicitamente (existem
permutações):
Por que o fator
?
- Cada termo produto é ortonormal a qualquer outro termo distinto porque
são ortonormais. Mais formalmente,
- Então, o quadrado da norma da soma de 6 termos é a soma das normas individuais (sem termos cruzados), isto é
. Para ter norma unitária precisamos multiplicar por .
Propriedades importantes: - Trocar qualquer par de coordenadas deixa a soma invariante (simetria completa).
- Se duas das funções de uma partícula forem iguais (por exemplo
), a construção precisa de cuidado porque termos repetidos aparecem; com as funções ortonormais e distintas, o fator é correto.
Passo 4
Construção para férmions idênticos (caso (c)): determinante de Slater e normalização.
A construção padrão e elegante é o determinante de Slater. Para três partículas:
Explicação do determinante e por que ele dá antissimetria:
- Expandindo o determinante obtém-se a soma sobre todas as permutações
de com o sinal da permutação :
- Trocar duas coordenadas
e corresponde a trocar duas linhas do determinante, o que muda o sinal do determinante: . Assim a função é totalmente antissimétrica.
Por que o fator ? - Igual ao caso dos bósons: os termos na expansão do determinante diferem apenas por sinais e são mutuamente ortogonais (produto de deltas), então a norma ao quadrado é
. Logo o fator normaliza.
Consequência física importante (Princípio de exclusão de Pauli): - Se duas colunas do determinante são idênticas (por exemplo
), o determinante é zero. Portanto não existe um estado de três férmions com duas partículas ocupando o mesmo estado de uma partícula; este é o mecanismo matemático do princípio de exclusão.]
Passo 5
Verificações rápidas de propriedade (trocas e normalização) com argumentos simples — como checar na prova sem muita conta.
- Simetria/antissimetria por trocas:
- Para o bóson: trocar
apenas permuta os termos do somatório; a soma inteira permanece igual, logo é invariante. - Para o férmion: trocar
corresponde a trocar a primeira com a segunda linha do determinante, o que muda o sinal, logo .
- Normalização com ortonormalidade:
- Produto escalar entre dois termos produto distintos é zero; entre iguais é 1. Assim o número de termos não anuláveis na soma é
. Logo norma ao quadrado sem o fator é , daí o prefactor .
- Caso particular: se duas funções de uma partícula fossem iguais (violando a condição de serem três estados distintos), para bósons é preciso reavaliar o fator por contagem de termos distintos; para férmions o estado fica automaticamente zero (proibição).
Passo 6
Resumo prático — como lembrar e reproduzir rápido na prova:
- Distinguíveis: escreva o produto direto atribuindo estados às partículas.
- Bósons: faça a soma de todas as permutações dos produtos e divida por
(quando as três funções são distintas e ortonormais). - Férmions: escreva o determinante de Slater com as funções nas colunas e as partículas nas linhas, e multiplique por
. Isso garante antissimetria e normalização automática quando as funções simples são ortonormais.