Nos moldes do exercício anterior, encontre uma expansão em série de potências para as funções abaixo. Indique o raio de convergência.
(f(x)=\frac{1}{(1-x)^{3}}\

Passo 1

Vamos usar que f(x)=1/(1-x)^3 e que precisamos de uma série de potências válida em torno de x=0, além de achar o raio de convergência. Vamos aplicar o conteúdo de séries de Taylor para funções racionais e usar derivadas de uma série geométrica conhecida.

Passo 2

Recordando a série geométrica básica, temos
11-x=sumn=0^inftyx^n, que converge para |x|<1. Para chegar em 1/(1-x)^3, podemos derivar essa série duas vezes.

Passo 3

A primeira derivada de 1/(1-x) é 1/(1-x)^2, e a segunda derivada é 2/(1-x)^3. Em série isso dá
sumn=1^infty n x^n-1=1(1-x)^2
derivando de novo
sumn=2^infty n(n-1)x^n-2=2(1-x)^3

Passo 4

Bastou ajustar por 1/2 e reindexar: colocando k=n-2, fica
1(1-x)^3=12sumn=2^infty n(n-1)x^n-2=sumk=0^infty(k+2)(k+1)2,x^k O raio de convergência permanece o mesmo da série geométrica original, ou seja R=1.

Resposta

1(1-x)^3=sumn=0^infty(n+1)(n+2)2,x^n, R=1

Exercícios relacionados