Nos moldes do exercício anterior, encontre uma expansão em série de potências para as funções abaixo. Indique o raio de convergência.
(f(x)=\frac{1}{(1-x)^{3}}\
(f(x)=\frac{1}{(1-x)^{3}}\
Passo 1
Vamos usar que f(x)=1/(1-x)^3 e que precisamos de uma série de potências válida em torno de x=0, além de achar o raio de convergência. Vamos aplicar o conteúdo de séries de Taylor para funções racionais e usar derivadas de uma série geométrica conhecida.
Passo 2
Recordando a série geométrica básica, temos
Passo 3
A primeira derivada de 1/(1-x) é 1/(1-x)^2, e a segunda derivada é 2/(1-x)^3. Em série isso dá
derivando de novo
Passo 4
Bastou ajustar por 1/2 e reindexar: colocando k=n-2, fica