Use o teste da integral para verificar a convergência ou não:
sumn=0^infty 12 n+1

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral na série
sumn=0^infty12n+1
O conteúdo é o teste da integral para séries de termos positivos: definimos uma função contínua, positiva e decrescente cuja amostragem em inteiros reproduz os termos da série, e então avaliamos a integral imprópria correspondente.

Passo 2

Definimos
f(x)=12x+1,
para x>=0. Observamos que:
  1. f(x)>0 para todo x>=0.
  2. f'(x)=-2(2x+1)^2<0, logo f é decrescente em [0,infty).
  3. f(n)=tfrac12n+1 coincide com os termos da série.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral, analisando a convergência da integral imprópria
integral0^inftydx2x+1
Calculamos a primitiva de f:
integraldx2x+1 =12lnl(2x+1r)+C

Passo 4

Avaliamo-la como limite impróprio:
integral0^inftydx2x+1 =limttoinfty[12lnl(2x+1r)]0^t =limttoinftyl(tfrac12ln(2t+1)-tfrac12ln(1)r) =limttoinftytfrac12ln(2t+1)=infty

Passo 5

Como a integral diverge, pelo teste da integral a série também diverge.

Resposta

A série
sumn=0^infty12n+1
diverge.

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