Descreva a região
no plano
que corresponde ao domínio da função dada e encontre a imagem da função:
Passo 1
A questão pede para identificar o domínio da função f(x,y)=ln(4−x−y) no plano xy e, em seguida, determinar a imagem dessa função.
Passo 2
Para que o logaritmo natural esteja bem definido, o argumento precisa ser positivo: 4−x−y>0. Portanto, o domínio R é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem essa desigualdade.
Passo 3
Escrevendo isso de forma mais geométrica, R é o semi-plano aberto abaixo da reta x+y=4, ou seja, a imagem de f vem do fato de que ln: (0,∞)→ℝ é sobrejetora, então à medida que 4−x−y varia em (0,∞), ln(4−x−y) assume todos os valores reais.
Passo 4
Logo, a imagem de f é todo o conjunto dos números reais.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
.