Descreva a região R no plano x y que corresponde ao domínio da função dada e encontre a imagem da função:
f(x, y)=ln (4-x-y)

Passo 1

A questão pede para identificar o domínio da função f(x,y)=ln(4−x−y) no plano xy e, em seguida, determinar a imagem dessa função.

Passo 2

Para que o logaritmo natural esteja bem definido, o argumento precisa ser positivo: 4−x−y>0. Portanto, o domínio R é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem essa desigualdade.

Passo 3

Escrevendo isso de forma mais geométrica, R é o semi-plano aberto abaixo da reta x+y=4, ou seja, a imagem de f vem do fato de que ln: (0,∞)→ℝ é sobrejetora, então à medida que 4−x−y varia em (0,∞), ln(4−x−y) assume todos os valores reais.

Passo 4

Logo, a imagem de f é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

Domínio: R=(x,y)inR^2mid x+y<4. Imagem: R.

Exercícios relacionados