Descreva quem são os ideais principais abaixo:
(c) lang<= 5rang<= em Z10

Passo 1

O enunciado pede para descrever o ideal principal lang<= 5rang<= no anel Z10. Vamos usar a definição de ideal gerado por um elemento em um anel comutativo e aplicar ao caso concreto de Z10.

Passo 2

Em um anel de restos Zn, o ideal principal gerado por a é
lang<= arang<= ;=;acdot kmid kinZn,,
ou seja, todos os múltiplos de a no anel Zn.
No nosso caso, n=10 e estamos gerando por 5. Logo
lang<= 5rang<= =5cdot kmid kinZ10 =5kmid k=0,1,2,dots,9

Passo 3

Basta ver que 5kmod 10 só assume dois valores:
  • Para k par, 5kequiv 0pmod10.
  • Para k ímpar, 5kequiv 5pmod10.
    Portanto
lang<= 5rang<= = 0,,5

Passo 4

Note que Z10/lang<= 5rang<=cong Z2, que é um corpo, de modo que lang<= 5rang<= é um ideal maximal (e portanto primo).

Resposta

lang<= 5rang<==0,,5 em Z10, e ainda é um ideal maximal.

Exercícios relacionados