Verifique se são ideais ou não:
(f) x in Z ; 6 mid x e 24 mid x^2 no anel Z

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
S = xinZmid 6 divide x e 24 divide x^2
no anel Z. Queremos verificar se S é um ideal de Z. Em Z, sabemos que todo ideal é da forma nZ para algum n>=0. Portanto, basta caracterizar S como dZ ou mostrar que não é fechado sob subtração ou multiplicação por qualquer inteiro.

Passo 2

Primeiro usamos a condição 6mid x. Escrevemos
x = 6k
para algum inteiro k. Substituindo em 24mid x^2, temos
x^2 = (6k)^2 = 36,k^2,
e a condição vira
24 mid 36,k^2 Long<=ftrightarrow 36,k^224inZ Long<=ftrightarrow 3,k^22inZ

Passo 3

Para que tfrac3,k^22 seja inteiro, o numerador 3,k^2 deve ser par. Como gcd(3,2)=1, isso implica que k^2 é par, logo k é par. Escrevemos então
k = 2m,
com minZ. Assim
x = 6k = 6cdot(2m) = 12m

Passo 4

Concluímos que
S = xinZmid x=12m,;minZ = 12Z
Como em Z qualquer nZ é ideal, segue que S é ideal gerado por 12.

Resposta

S é ideal de Z e S = 12Z.

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