Descreva as seguintes composições na forma f(g(x)) e calcule as suas funções derivadas:
\sin (5 x)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função dada \sin(5x): (1) escrever essa função como uma composição f(g(x)); (2) calcular a derivada dessa função. A informação dada é apenas a expressão \sin(5x). Nada mais é pedido.

Passo 2

Vamos escolher funções f e g de modo que, ao compô-las, voltemos à expressão original \sin(5x). Uma escolha natural é introduzir uma variável intermédia u e definir:
f(u)=\sin(u)
g(x)=5x.
Com isso obtemos a composição
f(g(x)) = f(5x) = \sin(5x),
que é exatamente a função do enunciado.

Passo 3

Agora vou explicar a regra que usamos para derivar composições: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte: se a função h é dada por
h(x)=f(g(x)),
então a derivada de h em relação a x é
h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
O que isso significa em palavras simples: primeiro derivamos a função externa f em relação à sua variável interna (chamei de u); depois avaliamos essa derivada no valor u=g(x); por fim multiplicamos pelo crescimento da função interna g em relação a x. Intuitivamente, uma pequena variação em x gera uma variação em g(x), que por sua vez gera uma variação em f(g(x)); o produto das “taxas” descreve a taxa total.

Passo 4

Calculamos as derivadas das funções escolhidas:
  • Para f(u)=\sin(u) sabemos (por definição da derivada de seno) que
f'(u)=\cos(u).
Aqui estou usando a derivada padrão: a taxa de variação do seno é o cosseno.
  • Para g(x)=5x (uma função linear), a derivada é simplesmente o coeficiente:
g'(x)=5.
Isso vem da regra básica: \dfrac{d}{dx}(a x)=a para constante a.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia com as derivadas que achamos:
\frac{d}{dx}\big(\sin(5x)\big)=f'(g(x))\cdot g'(x)=\cos\big(g(x)\big)\cdot 5.
Substituindo g(x)=5x obtemos
\frac{d}{dx}\big(\sin(5x)\big)=5\cos(5x).
Uma forma equivalente é escrever 5\cos(5x). Isso confirma o resultado esperado: primeiro derivamos o seno (dando cosseno) e depois multiplicamos pela derivada interna 5.

Resposta

f(g(x)) = f(5x) com f(u)=\sin(u) e g(x)=5x.\n
\dfrac{d}{dx}\big(\sin(5x)\big)=5\cos(5x)

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