Descreva as seguintes composições na forma
e calcule as suas funções derivadas:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função dada
: (1) escrever essa função como uma composição
; (2) calcular a derivada dessa função. A informação dada é apenas a expressão
. Nada mais é pedido.
Passo 2
Vamos escolher funções
e
de modo que, ao compô-las, voltemos à expressão original
. Uma escolha natural é introduzir uma variável intermédia
e definir:
Com isso obtemos a composição
que é exatamente a função do enunciado.
Passo 3
Agora vou explicar a regra que usamos para derivar composições: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte: se a função
é dada por
então a derivada de
em relação a
é
O que isso significa em palavras simples: primeiro derivamos a função externa
em relação à sua variável interna (chamei de
); depois avaliamos essa derivada no valor
; por fim multiplicamos pelo crescimento da função interna
em relação a
. Intuitivamente, uma pequena variação em
gera uma variação em
, que por sua vez gera uma variação em
; o produto das “taxas” descreve a taxa total.
Passo 4
Calculamos as derivadas das funções escolhidas:
- Para
sabemos (por definição da derivada de seno) que
Aqui estou usando a derivada padrão: a taxa de variação do seno é o cosseno.
- Para
(uma função linear), a derivada é simplesmente o coeficiente:
Isso vem da regra básica:
para constante
.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia com as derivadas que achamos:
Substituindo
obtemos
Uma forma equivalente é escrever
. Isso confirma o resultado esperado: primeiro derivamos o seno (dando cosseno) e depois multiplicamos pela derivada interna
.