Descreva os seguintes subgrupos cíclicos:
.
Passo 1
Enunciado: Descreva o subgrupo cíclico
em
.
Informações dadas:
- O grupo é
, ou seja, o conjunto dos inteiros com a operação soma. - O elemento que gera o subgrupo é
. - O pedido é apresentar explicitamente o subgrupo gerado por
.
Passo 2
Definição e interpretação prática (o que significa
em
).
- Em um grupo aditivo, a notação
significa "o subgrupo gerado por ". - Por definição:
onde
significa somar
consigo mesmo
vezes se
, tomar o inverso (ou seja,
) quando
, e
quando
.
- Exemplo simples para fixar a ideia:
pois são todos os múltiplos inteiros de
.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso
.
Escrevendo diretamente:
Agora observe que, para
,
. Se definirmos
(que também percorre todos os inteiros quando
percorre
), obtemos:
Passo 4
Conclusão sobre a forma do subgrupo e igualdade com outro gerador.
- A descrição
é o mesmo que escrever , o conjunto de todos os múltiplos inteiros de . - Portanto:
- Observação prática importante para prova:
. Em (e em geral em grupos abelianos), um elemento e seu inverso geram o mesmo subgrupo.
Passo 5
Ordem do elemento e tipo do subgrupo.
- Para saber a ordem de
, resolvemos . Isso é , ou seja . Como não tem torsão, a única solução inteira é . Logo tem ordem infinita. - Consequência:
é um subgrupo cíclico infinito, isomorfo a via o isomorfismo .
Passo 6
Como escrever a resposta em uma prova (forma final e clara).
- Apresente o conjunto explicitamente e, se conveniente, mostre que é igual a
ou a . Um enunciado curto e direto: .