Descreva os seguintes subgrupos cíclicos:
\langle-5\rangle \mathrm{em}(Z,+).

Passo 1

Enunciado: Descreva o subgrupo cíclico \langle -5\rangle em (\mathbb{Z},+).
Informações dadas:
  • O grupo é (\mathbb{Z},+), ou seja, o conjunto dos inteiros com a operação soma.
  • O elemento que gera o subgrupo é -5.
  • O pedido é apresentar explicitamente o subgrupo gerado por -5.

Passo 2

Definição e interpretação prática (o que significa \langle a\rangle em (\mathbb{Z},+)).
  • Em um grupo aditivo, a notação \langle a\rangle significa "o subgrupo gerado por a".
  • Por definição:
\langle a\rangle=\{n a \mid n\in\mathbb{Z}\},
onde n a significa somar a consigo mesmo n vezes se n>0, tomar o inverso (ou seja, -a) quando n<0, e 0 quando n=0.
  • Exemplo simples para fixar a ideia:
\langle 3\rangle=\{\dots,-6,-3,0,3,6,\dots\},
pois são todos os múltiplos inteiros de 3.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso -5.
Escrevendo diretamente:
\langle -5\rangle=\{n(-5)\mid n\in\mathbb{Z}\}=\{-5n\mid n\in\mathbb{Z}\}.
Agora observe que, para n\in\mathbb{Z}, -5n=5(-n). Se definirmos k=-n (que também percorre todos os inteiros quando n percorre \mathbb{Z}), obtemos:
\{-5n\mid n\in\mathbb{Z}\}=\{5k\mid k\in\mathbb{Z}\}.

Passo 4

Conclusão sobre a forma do subgrupo e igualdade com outro gerador.
  • A descrição \{5k\mid k\in\mathbb{Z}\} é o mesmo que escrever 5\mathbb{Z}, o conjunto de todos os múltiplos inteiros de 5.
  • Portanto:
\langle -5\rangle=5\mathbb{Z}.
  • Observação prática importante para prova: \langle -5\rangle=\langle 5\rangle. Em (\mathbb{Z},+) (e em geral em grupos abelianos), um elemento e seu inverso geram o mesmo subgrupo.

Passo 5

Ordem do elemento e tipo do subgrupo.
  • Para saber a ordem de -5, resolvemos n(-5)=0. Isso é -5n=0, ou seja 5n=0. Como \mathbb{Z} não tem torsão, a única solução inteira é n=0. Logo -5 tem ordem infinita.
  • Consequência: \langle -5\rangle é um subgrupo cíclico infinito, isomorfo a \mathbb{Z} via o isomorfismo n\mapsto 5n.

Passo 6

Como escrever a resposta em uma prova (forma final e clara).
  • Apresente o conjunto explicitamente e, se conveniente, mostre que é igual a 5\mathbb{Z} ou a \langle 5\rangle. Um enunciado curto e direto: \langle -5\rangle=\{\dots,-10,-5,0,5,10,\dots\}.

Resposta

\langle -5\rangle = 5\mathbb{Z} = \{\dots,-10,-5,0,5,10,\dots\}

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