Descreva os seguintes subgrupos cíclicos:
.
Passo 1
O enunciado pede para descrever o subgrupo cíclico gerado por
no grupo
.
Informações dadas:
- O grupo é
, ou seja, o conjunto dos números racionais não nulos com a multiplicação. - O elemento gerador é
. - A tarefa é descrever explicitamente o subgrupo
.
Passo 2
Primeiro, o que significa
num grupo multiplicativo?
Por definição,
Por definição,
onde:
-
(elemento neutro), -
( fatores) para , -
para , isto é, potências negativas são recíprocas das positivas.
Vou aplicar essa definição para
.
Passo 3
Calcular a forma geral de
.
Para qualquer
vale
Interpretações úteis:
- Se
, então (frações). - Se
, escrevendo com , então
Alguns termos para visualizar a sequência de potências:
Passo 4
Mostrar que o subgrupo é infinito (i.e. o elemento tem ordem infinita).
Se existisse
tal que
, então tomando valor absoluto obtemos
Mas
só é possível se
. Portanto não existe
com
. Logo a ordem de
é infinita e o subgrupo gerado é infinito, isto é, isomorfo a
via
.
Passo 5
Resumo e descrição final do subgrupo.
Usando a definição e as formas explicitadas:
Outra forma equivalente, mais compacta: