Descreva os seguintes subgrupos cíclicos:
\left\langle-\frac{1}{3}\right\rangle \mathrm{em}\left(Q^{*}, \cdot\right).

Passo 1

O enunciado pede para descrever o subgrupo cíclico gerado por \,-\tfrac{1}{3}\, no grupo \left(\mathbb{Q}^{*},\cdot\right).
Informações dadas:
  • O grupo é \left(\mathbb{Q}^{*},\cdot\right), ou seja, o conjunto dos números racionais não nulos com a multiplicação.
  • O elemento gerador é \,-\tfrac{1}{3}\,.
  • A tarefa é descrever explicitamente o subgrupo \left\langle -\tfrac{1}{3}\right\rangle.

Passo 2

Primeiro, o que significa \left\langle a\right\rangle num grupo multiplicativo?
Por definição,
\left\langle a\right\rangle=\{a^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\},
onde:
  • a^{0}=1 (elemento neutro),
  • a^{n}=a\cdot a\cdots a ( n fatores) para n>0,
  • a^{n}=(a^{-1})^{-n} para n<0, isto é, potências negativas são recíprocas das positivas.
Vou aplicar essa definição para a=-\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Calcular a forma geral de \left(-\tfrac{1}{3}\right)^{n}.
Para qualquer n\in\mathbb{Z} vale
\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{n}=(-1)^{n}\,3^{-n}.
Interpretações úteis:
  • Se n\ge 0, então \left(-\tfrac{1}{3}\right)^{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{3^{n}} (frações).
  • Se n<0, escrevendo n=-m com m>0, então
\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{-m}=\left(-3\right)^{m}=(-1)^{m}\,3^{m}\quad(\text{inteiros com sinal}).
Alguns termos para visualizar a sequência de potências:
\ldots,\;\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{-3}=-27,\;\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{-2}=9,\;\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{-1}=-3,\;\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{0}=1,
\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{1}=-\tfrac{1}{3},\;\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{2}=\tfrac{1}{9},\;\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{3}=-\tfrac{1}{27},\ldots

Passo 4

Mostrar que o subgrupo é infinito (i.e. o elemento tem ordem infinita).
Se existisse k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\} tal que \left(-\tfrac{1}{3}\right)^{k}=1, então tomando valor absoluto obtemos
\left|\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{k}\right|=\left|\!-\tfrac{1}{3}\right|^{|k|}=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{|k|}=1.
Mas \left(\tfrac{1}{3}\right)^{|k|}=1 só é possível se |k|=0. Portanto não existe k\neq0 com \left(-\tfrac{1}{3}\right)^{k}=1. Logo a ordem de -\tfrac{1}{3} é infinita e o subgrupo gerado é infinito, isto é, isomorfo a \mathbb{Z} via n\mapsto\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{n}.

Passo 5

Resumo e descrição final do subgrupo.
Usando a definição e as formas explicitadas:
\left\langle -\tfrac{1}{3}\right\rangle=\left\{\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{n}\;\middle|\;n\in\mathbb{Z}\right\} =\{\ldots,-27,9,-3,1,-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{9},-\tfrac{1}{27},\ldots\}.
Outra forma equivalente, mais compacta:
\left\langle -\tfrac{1}{3}\right\rangle=\left\{(-1)^{n}3^{-n}\mid n\in\mathbb{Z}\right\}.

Resposta

\left\langle -\tfrac{1}{3}\right\rangle=\left\{\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\right\}=\{\ldots,-27,9,-3,1,-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{9},-\tfrac{1}{27},\ldots\}

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