Descreva os seguintes subgrupos cíclicos:
\langle f\rangle em \left(S_{3}, \circ\right), onde f=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 3 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá o grupo \left(S_{3},\circ\right) e a permutação f escrita na forma de duas linhas:
f=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\[4pt] 2 & 3 & 1\end{array}\right).
As informações relevantes são:
  • f(1)=2, f(2)=3, f(3)=1 (peguei estes valores da segunda linha da matriz acima);
  • O que se pede: descrever o subgrupo cíclico \langle f\rangle, isto é, listar todos os elementos gerados por f.]

Passo 2

O que significa \langle f\rangle? Por definição,
\langle f\rangle=\{f^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\},
onde:
  • f^{0} é a identidade (denotada por \mathrm{id} ou e);
  • para n>0, f^{n}=f\circ f\circ\cdots\circ f (composição n vezes);
  • para n<0, f^{n}=(f^{-1})^{|n|}.
    Na prática, para encontrar \langle f\rangle basta calcular potências positivas sucessivas até voltar à identidade (isso determina a ordem de f).

Passo 3

Anotando novamente f para orientação:
f=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\[4pt] 2 & 3 & 1\end{array}\right).
Em notação de ciclo, isso é o 3-ciclo (1\;2\;3), porque 1\mapsto2, 2\mapsto3, 3\mapsto1.]

Passo 4

Calculando f^{2}=f\circ f. Fazendo a composição como função (primeiro aplica-se a direita, depois a esquerda):
\begin{aligned} f^{2}(1)&=f(f(1))=f(2)=3,\\\ f^{2}(2)&=f(f(2))=f(3)=1,\\\ f^{2}(3)&=f(f(3))=f(1)=2. \end{aligned}
Logo, em duas linhas:
f^{2}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\[4pt] 3 & 1 & 2\end{array}\right),
e em notação de ciclo f^{2}=(1\;3\;2). Observe que f^{2} é o inverso de f.]

Passo 5

Calculando f^{3}=f^{2}\circ f (ou f\circ f^{2}):
\begin{aligned} f^{3}(1)&=f^{2}(f(1))=f^{2}(2)=1,\\\ f^{3}(2)&=f^{2}(f(2))=f^{2}(3)=2,\\\ f^{3}(3)&=f^{2}(f(3))=f^{2}(1)=3. \end{aligned}
Portanto f^{3}=\mathrm{id}. Isto mostra que a ordem de f é 3 e que as potências possíveis são apenas f^{0}=\mathrm{id}, f^{1}=f e f^{2}.

Passo 6

Conclui-se que \langle f\rangle contém exatamente os três elementos \mathrm{id}, f e f^{2}. Esse é um subgrupo cíclico de ordem 3. Em notação de ciclos:
\langle f\rangle=\{\mathrm{id},\,(1\;2\;3),\,(1\;3\;2)\}.
Comentário rápido e encorajador: é exatamente o que se esperava de um 3-ciclo — gera um subgrupo de ordem 3 (o pequeno ciclo gira entre os três elementos e volta à identidade após três aplicações).

Resposta

\langle f\rangle=\{\mathrm{id},\,(1\;2\;3),\,(1\;3\;2)\}

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