f(1)=2, f(2)=3, f(3)=1 (peguei estes valores da segunda linha da matriz acima);
O que se pede: descrever o subgrupo cíclico \langle f\rangle, isto é, listar todos os elementos gerados por f.]
Passo 2
O que significa \langle f\rangle? Por definição,
\langle f\rangle=\{f^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\},
onde:
f^{0} é a identidade (denotada por \mathrm{id} ou e);
para n>0, f^{n}=f\circ f\circ\cdots\circ f (composição n vezes);
para n<0, f^{n}=(f^{-1})^{|n|}.
Na prática, para encontrar \langle f\rangle basta calcular potências positivas sucessivas até voltar à identidade (isso determina a ordem de f).
Portanto f^{3}=\mathrm{id}. Isto mostra que a ordem de f é 3 e que as potências possíveis são apenas f^{0}=\mathrm{id}, f^{1}=f e f^{2}.
Passo 6
Conclui-se que \langle f\rangle contém exatamente os três elementos \mathrm{id}, f e f^{2}. Esse é um subgrupo cíclico de ordem 3. Em notação de ciclos:
Comentário rápido e encorajador: é exatamente o que se esperava de um 3-ciclo — gera um subgrupo de ordem 3 (o pequeno ciclo gira entre os três elementos e volta à identidade após três aplicações).