Sabendo que G=\{e, a, b, c, d, f\} é um grupo multiplicativo isomorfo do grupo aditivo Z_{6}, responda aquilo que se pede:
a) Construa uma tábua para G.
b) Calcule a^{3}, b^{-4} e c^{-6}.
c) O subgrupo gerado por d.
d) O período (ou a ordem) de b.
e) Os geradores de G.
f) Resolva em G a equação a^{-1} x b^{2}=c^{3}.

Passo 1

O enunciado dá o grupo multiplicativo G=\{e,a,b,c,d,f\} e informa que G é isomorfo ao grupo aditivo \mathbb{Z}_{6}. As perguntas são:
  • (a) Construir a tábua (tabela de multiplicação) para G.
  • (b) Calcular a^{3},\; b^{-4} e c^{-6}.
  • (c) Determinar o subgrupo gerado por d, isto é \langle d\rangle.
  • (d) Determinar o período (ordem) de b.
  • (e) Encontrar os geradores de G.
  • (f) Resolver em G a equação a^{-1} x b^{2}=c^{3}.
Informações relevantes dadas:
  • G tem exatamente 6 elementos.
  • Existe um isomorfismo entre \mathbb{Z}_{6} (aditivo) e G (multiplicativo), portanto G é cíclico de ordem 6 e possui a mesma estrutura que \mathbb{Z}_{6}.

Passo 2

Ideia e escolha de identificação prática (explicação didática).
  • Como G é isomorfo a \mathbb{Z}_{6}, podemos identificar os elementos de G com as classes 0,1,2,3,4,5 de \mathbb{Z}_{6}. Para trabalhar de modo concreto escolho a identificação conveniente (qualquer isomorfismo serviria; esta escolha torna os cálculos diretos): e \leftrightarrow 0,\quad a \leftrightarrow 1,\quad b \leftrightarrow 2,\quad c \leftrightarrow 3,\quad d \leftrightarrow 4,\quad f \leftrightarrow 5.
  • Explicação do porquê: sob o isomorfismo, o produto em G corresponde à soma em \mathbb{Z}_{6}. Assim, para r,s\in\{0,\dots,5\} com a^{r} representando o elemento associado a r, tem-se a^{r}\cdot a^{s}=a^{r+s\pmod{6}}.(Aqui estou usando a letra a como gerador simbólico: a^{0}=e,\; a^{1}=a,\; a^{2}=b, etc.)
  • Consequência prática: para multiplicar dois elementos de G soma-se os índices mod 6 e lê-se o elemento correspondente.

Passo 3

Construção da tábua de G (explicada passo a passo).
  • Vou organizar linhas e colunas na ordem (e,a,b,c,d,f). Usando a identificação por índices 0,1,2,3,4,5 e a regra a^{r}a^{s}=a^{r+s\pmod{6}}, preencho a tabela somando os índices módulo 6 e convertendo de volta para os símbolos.
  • A tabela fica (cada entrada é o produto da linha pela coluna):
\begin{array}{c|cccccc} \cdot & e & a & b & c & d & f\\hline e & e & a & b & c & d & f\\\ a & a & b & c & d & f & e\\\ b & b & c & d & f & e & a\\\ c & c & d & f & e & a & b\\\ d & d & f & e & a & b & c\\\ f & f & e & a & b & c & d \end{array}
  • Como checar: por exemplo, linha b coluna d corresponde a índices 2+4=6\equiv0, logo b\cdot d=e; isso aparece na tabela.

Passo 4

Cálculo de a^{3}.
  • Pela identificação, a corresponde a índice 1. Então a^{3}=a^{1\cdot 3}=a^{3},e o elemento de índice 3 é c. Portanto a^{3}=c.
  • Intuição: elevar a a 3 anda três passos no ciclo de 6 elementos, chegando em c.

Passo 5

Cálculo de b^{-4}.
  • Primeiro escrevo b em potências de a: b=a^{2} (porque b\leftrightarrow 2).
  • Então b^{-4}=(a^{2})^{-4}=a^{2\cdot(-4)}=a^{-8}.
  • Reduzindo o expoente módulo 6: -8\equiv -8+12=4\pmod{6},logo a^{-8}=a^{4}. O elemento de índice 4 é d. Portanto b^{-4}=d.
  • Comentário: também se pode ver que b^{m}=a^{2m}, então para m=-4 obtém-se a^{2(-4)}=a^{-8}=a^{4}.

Passo 6

Cálculo de c^{-6}.
  • c=a^{3}. Então c^{-6}=(a^{3})^{-6}=a^{3\cdot(-6)}=a^{-18}.
  • Reduzindo o expoente módulo 6: -18\equiv 0\pmod{6},então a^{-18}=a^{0}=e. Portanto c^{-6}=e.
  • Observação: afinal c tem ordem 2 (veja que c^{2}=a^{6}=e), então qualquer múltiplo de 2 como expoente pode reduzir; particular c^{-6}=e.

Passo 7

Determinar \langle d\rangle (o subgrupo gerado por d).
  • d=a^{4}. Calculo as potências de d: d^{1}=a^{4}=d,
d^{2}=a^{8}=a^{8\pmod{6}}=a^{2}=b,
d^{3}=a^{12}=a^{0}=e.
  • Portanto as potências se repetem a partir dali; o subgrupo gerado é \langle d\rangle=\{e,d,d^{2}\}=\{e,d,b\}.
  • Observação: \langle d\rangle tem 3 elementos (ordem 3).

Passo 8

Determinar a ordem (período) de b.
  • b=a^{2}. Fato útil: em um grupo cíclico de ordem n, a ordem de a^{k} é n/\gcd(n,k).
  • Aqui n=6 e k=2, então a ordem de b é \frac{6}{\gcd(6,2)}=\frac{6}{2}=3.
  • Verificação direta: b^{1}=b,\; b^{2}=d,\; b^{3}=e. Logo a ordem de b é 3.

Passo 9

Encontrar os geradores de G.
  • Em um grupo cíclico de ordem 6 os geradores são exatamente as potências a^{k} com \gcd(k,6)=1.
  • Os k entre 0 e 5 que satisfazem \gcd(k,6)=1 são k=1 e k=5.
  • Portanto os geradores são a^{1}=a e a^{5}=f. Assim os geradores de G são \{a,f\}.
  • Comentário: há \varphi(6)=2 geradores, onde \varphi é a função totiente de Euler.

Passo 10

Resolver a equação a^{-1} x b^{2}=c^{3}.
  • Escrevo x como a^{t} para algum t\in\{0,\dots,5\}.
  • Substituo b=a^{2} e c=a^{3}. Então a^{-1} x b^{2}=a^{-1}\cdot a^{t}\cdot (a^{2})^{2}=a^{-1+t+4}=a^{t+3}.(Aqui somei os expoentes: -1 + t + 4 = t+3.)
  • À direita, c^{3}=(a^{3})^{3}=a^{9}=a^{9\pmod{6}}=a^{3}.
  • Assim a equação vira a^{t+3}=a^{3}.
  • Isso implica t+3\equiv 3\pmod{6}, logo t\equiv 0\pmod{6}. Assim t=0 e x=a^{0}=e.
  • Verificação rápida: a^{-1} e b^{2}=a^{-1} b^{2}=a^{5}\cdot a^{4}=a^{9}=a^{3}=c^{3}. Está correta.

Resposta

a)
\begin{array}{c|cccccc} \cdot & e & a & b & c & d & f\\hline e & e & a & b & c & d & f\\\ a & a & b & c & d & f & e\\\ b & b & c & d & f & e & a\\\ c & c & d & f & e & a & b\\\ d & d & f & e & a & b & c\\\ f & f & e & a & b & c & d \end{array}
b) a^{3}=c,\; b^{-4}=d,\; c^{-6}=e
c) \langle d\rangle=\{e,d,b\}
d) \operatorname{ord}(b)=3
e) Geradores de G: a e f
f) Solução da equação: x=e

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