Sabendo que
é um grupo multiplicativo isomorfo do grupo aditivo
, responda aquilo que se pede:
a) Construa uma tábua para
.
b) Calcule
e
.
c) O subgrupo gerado por
.
d) O período (ou a ordem) de
.
e) Os geradores de
.
f) Resolva em
a equação
.
a) Construa uma tábua para
b) Calcule
c) O subgrupo gerado por
d) O período (ou a ordem) de
e) Os geradores de
f) Resolva em
Passo 1
O enunciado dá o grupo multiplicativo
e informa que
é isomorfo ao grupo aditivo
. As perguntas são:
- (a) Construir a tábua (tabela de multiplicação) para
. - (b) Calcular
e . - (c) Determinar o subgrupo gerado por
, isto é . - (d) Determinar o período (ordem) de
. - (e) Encontrar os geradores de
. - (f) Resolver em
a equação .
Informações relevantes dadas:
-
tem exatamente elementos. - Existe um isomorfismo entre
(aditivo) e (multiplicativo), portanto é cíclico de ordem e possui a mesma estrutura que .
Passo 2
Ideia e escolha de identificação prática (explicação didática).
- Como
é isomorfo a , podemos identificar os elementos de com as classes de . Para trabalhar de modo concreto escolho a identificação conveniente (qualquer isomorfismo serviria; esta escolha torna os cálculos diretos): - Explicação do porquê: sob o isomorfismo, o produto em
corresponde à soma em . Assim, para com representando o elemento associado a , tem-se (Aqui estou usando a letra como gerador simbólico: etc.) - Consequência prática: para multiplicar dois elementos de
soma-se os índices mod e lê-se o elemento correspondente.
Passo 3
Construção da tábua de
(explicada passo a passo).
- Vou organizar linhas e colunas na ordem
. Usando a identificação por índices e a regra , preencho a tabela somando os índices módulo e convertendo de volta para os símbolos. - A tabela fica (cada entrada é o produto da linha pela coluna):
- Como checar: por exemplo, linha
coluna corresponde a índices , logo ; isso aparece na tabela.
Passo 4
Cálculo de
.
- Pela identificação,
corresponde a índice . Então e o elemento de índice é . Portanto - Intuição: elevar
a anda três passos no ciclo de elementos, chegando em .
Passo 5
Cálculo de
.
- Primeiro escrevo
em potências de : (porque ). - Então
- Reduzindo o expoente módulo
: logo . O elemento de índice é . Portanto - Comentário: também se pode ver que
, então para obtém-se .
Passo 6
Cálculo de
.
-
. Então - Reduzindo o expoente módulo
: então . Portanto - Observação: afinal
tem ordem (veja que ), então qualquer múltiplo de como expoente pode reduzir; particular .
Passo 7
Determinar
(o subgrupo gerado por
).
-
. Calculo as potências de :
- Portanto as potências se repetem a partir dali; o subgrupo gerado é
- Observação:
tem elementos (ordem ).
Passo 8
Determinar a ordem (período) de
.
-
. Fato útil: em um grupo cíclico de ordem , a ordem de é . - Aqui
e , então a ordem de é - Verificação direta:
. Logo a ordem de é .
Passo 9
Encontrar os geradores de
.
- Em um grupo cíclico de ordem
os geradores são exatamente as potências com . - Os
entre e que satisfazem são e . - Portanto os geradores são
e . Assim os geradores de são - Comentário: há
geradores, onde é a função totiente de Euler.
Passo 10
Resolver a equação
.
- Escrevo
como para algum . - Substituo
e . Então (Aqui somei os expoentes: .) - À direita,
. - Assim a equação vira
- Isso implica
, logo . Assim e - Verificação rápida:
. Está correta.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e) Geradores de
:
e
f) Solução da equação: