Descreva os seguintes subgrupos cíclicos:
\langle\overline{2}\rangle \mathrm{em}\left(Z_{5},+\right).

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva o subgrupo cíclico \langle\overline{2}\rangle do grupo \left(\mathbb{Z}_5,+\right). As informações dadas e relevantes são:
  • O grupo ambienta é \left(\mathbb{Z}_5,+\right), ou seja, os elementos são \overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4} (classes modulares de 0,1,2,3,4) e a operação é adição módulo 5.
  • O gerador pedido é o elemento \overline{2}.
  • A tarefa é descrever explicitamente o conjunto \langle\overline{2}\rangle, isto é, todos os múltiplos inteiros de \overline{2} sob adição módulo 5.

Passo 2

Definição prática do que vou calcular: para um grupo aditivo, o subgrupo cíclico gerado por \overline{2} é
\langle\overline{2}\rangle=\{k\cdot\overline{2}\mid k\in\mathbb{Z}\},
onde k\cdot\overline{2} significa somar \overline{2} consigo mesmo k vezes (se k negativo, usa-se o inverso). Para entender o subgrupo basta calcular os primeiros múltiplos de \overline{2} até que se repita \overline{0}.

Passo 3

Calculo dos múltiplos de \overline{2} em \mathbb{Z}_5 (cada linha é adição módulo 5):
\begin{aligned} 1\cdot\overline{2} &= \overline{2},\\[4pt] 2\cdot\overline{2} &= \overline{2}+\overline{2}=\overline{4},\\[4pt] 3\cdot\overline{2} &= \overline{4}+\overline{2}=\overline{6}=\overline{1},\\[4pt] 4\cdot\overline{2} &= \overline{1}+\overline{2}=\overline{3},\\[4pt] 5\cdot\overline{2} &= \overline{3}+\overline{2}=\overline{5}=\overline{0}. \end{aligned}
Observe que em cinco passos volta-se a \overline{0}, e os elementos que apareceram são \overline{2},\overline{4},\overline{1},\overline{3},\overline{0}, ou seja, todos os elementos de \mathbb{Z}_5.]

Passo 4

Explicação teórica curta que confirma o cálculo: em \mathbb{Z}_n a ordem do elemento \overline{a} é
\operatorname{ord}(\overline{a})=\frac{n}{\gcd(n,a)}.
Aqui n=5 e \gcd(5,2)=1, logo \operatorname{ord}(\overline{2})=\dfrac{5}{1}=5. Um elemento de ordem 5 em um grupo de 5 elementos gera todo o grupo; portanto \langle\overline{2}\rangle=\mathbb{Z}_5. Intuitivamente: como 5 é primo, todo \overline{a}\neq\overline{0} gera \mathbb{Z}_5.

Passo 5

Conclusão prática: o subgrupo cíclico gerado por \overline{2} contém exatamente os cinco elementos de \mathbb{Z}_5, já listados nos cálculos.

Resposta

\langle\overline{2}\rangle=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}\}=\mathbb{Z}_5

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