Descreva os seguintes subgrupos cíclicos:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu descreva o subgrupo cíclico
do grupo
. As informações dadas e relevantes são:
- O grupo ambienta é
, ou seja, os elementos são (classes modulares de ) e a operação é adição módulo . - O gerador pedido é o elemento
. - A tarefa é descrever explicitamente o conjunto
, isto é, todos os múltiplos inteiros de sob adição módulo .
Passo 2
Definição prática do que vou calcular: para um grupo aditivo, o subgrupo cíclico gerado por
é
onde
significa somar
consigo mesmo
vezes (se
negativo, usa-se o inverso). Para entender o subgrupo basta calcular os primeiros múltiplos de
até que se repita
.
Passo 3
Calculo dos múltiplos de
em
(cada linha é adição módulo
):
Observe que em cinco passos volta-se a
, e os elementos que apareceram são
, ou seja, todos os elementos de
.]
Passo 4
Explicação teórica curta que confirma o cálculo: em
a ordem do elemento
é
Aqui
e
, logo
. Um elemento de ordem
em um grupo de
elementos gera todo o grupo; portanto
. Intuitivamente: como
é primo, todo
gera
.
Passo 5
Conclusão prática: o subgrupo cíclico gerado por
contém exatamente os cinco elementos de
, já listados nos cálculos.