Descreva os seguintes subgrupos cíclicos: \langle\overline{2}\rangle em \left(Z_{5}^{*}, \cdot\right).
Passo 1
O enunciado pede para descrever o subgrupo cíclico \langle\overline{2}\rangle dentro do grupo \left(\mathbb{Z}_{5}^{*},\cdot\right). As informações dadas/úteis são:
O grupo \mathbb{Z}_{5}^{*} é o conjunto das classes de equivalência dos inteiros mod 5 que são invertíveis multiplicativamente, ou seja \mathbb{Z}_{5}^{*}=\{\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}\}.
A tarefa: encontrar todos os elementos gerados por \overline{2} sob a operação multiplicação módulo 5; isto é, determinar \langle\overline{2}\rangle.
Passo 2
Definição e método prático (mini-aula): o subgrupo gerado por um elemento g de um grupo é
\langle g\rangle=\{g^{k}\mid k\in\mathbb{Z}\},
ou seja, todas as potências inteiras de g. Em grupos finitos basta calcular as potências positivas g, g^{2}, g^{3},\dots até que apareça o elemento identidade; a menor potência positiva que dá a identidade é a ordem de g. No nosso caso a identidade multiplicativa é \overline{1}. Então vamos calcular as potências de \overline{2} módulo 5 até voltar a \overline{1}.
Passo 3
Calculemos potências de \overline{2} em \mathbb{Z}_{5}^{*} (reduzindo módulo 5 quando necessário):
Como \overline{2}^{4}=\overline{1} e nenhuma potência menor que 4 deu \overline{1}, a ordem de \overline{2} é 4.
Passo 4
Interpretação e conclusão didática: as potências distintas que obtivemos antes de voltar à identidade são \overline{2},\overline{4},\overline{3},\overline{1}. Portanto o subgrupo gerado por \overline{2} é o conjunto desses elementos. Como a ordem de \overline{2} é 4 e |\mathbb{Z}_{5}^{*}|=\varphi(5)=4, verifica-se que \overline{2} gera todo o grupo \mathbb{Z}_{5}^{*} (ou seja, é um gerador/raiz primitiva módulo 5). Observação extra útil para prova: isso também mostra que \langle\overline{2}\rangle é um grupo cíclico de ordem 4, isomorfo a \mathbb{Z}_{4}.