Descreva, séries de potências, as seguintes funções: f(x)=\frac{1}{x^{2}-4} \quad centrada em c=0
Passo 1
O enunciado pede a série de potências de f(x)=\frac{1}{x^{2}-4} centrada em c=0.
Informações dadas: a função é \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-4} e queremos sua expansão em série de potências em torno de 0 (ou seja, uma soma da forma \sum a_n x^n). Não há figura nem outra informação adicional.
Passo 2
Ideia principal (sem pular passos): vamos manipular f(x) para obter uma expressão do tipo \dfrac{1}{1-t}, porque sabemos a fórmula da série geométrica:
Explico: essa identidade é a base para muitas séries de potências — ela significa que, se você consegue escrever a sua função como uma constante vezes \dfrac{1}{1-t} com t envolvendo x, então substitui-se \dfrac{1}{1-t} pela soma e obtém-se a série. A condição |t|<1 garante convergência (vamos aplicar isso depois).
Passo 3
Reescrevendo f(x) para encaixar na forma da série geométrica:
Aqui eu só fatorizei -1 e depois 4 do denominador para obter \dfrac{1}{1-t} com t=\dfrac{x^{2}}{4}. Cada passo é: x^{2}-4=-(4-x^{2}) e 4-x^{2}=4\bigl(1-\tfrac{x^{2}}{4}\bigr).
Passo 4
Aplicando a série geométrica com t=\dfrac{x^{2}}{4}:
Se precisar verificar rapidamente na prova: multiplique (x^{2}-4) pela soma truncada e veja que os termos se cancelam, aproximando 1 conforme aumentamos o número de termos (é a verificação padrão da série geométrica).