Descreva, séries de potências, as seguintes funções:
f(x)=\frac{1}{x^{2}-4} \quad centrada em c=0

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de f(x)=\frac{1}{x^{2}-4} centrada em c=0.
Informações dadas: a função é \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-4} e queremos sua expansão em série de potências em torno de 0 (ou seja, uma soma da forma \sum a_n x^n). Não há figura nem outra informação adicional.

Passo 2

Ideia principal (sem pular passos): vamos manipular f(x) para obter uma expressão do tipo \dfrac{1}{1-t}, porque sabemos a fórmula da série geométrica:
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty} t^n \qquad\text{para }|t|<1.
Explico: essa identidade é a base para muitas séries de potências — ela significa que, se você consegue escrever a sua função como uma constante vezes \dfrac{1}{1-t} com t envolvendo x, então substitui-se \dfrac{1}{1-t} pela soma e obtém-se a série. A condição |t|<1 garante convergência (vamos aplicar isso depois).

Passo 3

Reescrevendo f(x) para encaixar na forma da série geométrica:
\frac{1}{x^{2}-4}=\frac{1}{-(4-x^{2})}=-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{x^{2}}{4}}.
Aqui eu só fatorizei -1 e depois 4 do denominador para obter \dfrac{1}{1-t} com t=\dfrac{x^{2}}{4}. Cada passo é: x^{2}-4=-(4-x^{2}) e 4-x^{2}=4\bigl(1-\tfrac{x^{2}}{4}\bigr).

Passo 4

Aplicando a série geométrica com t=\dfrac{x^{2}}{4}:
\frac{1}{1-\dfrac{x^{2}}{4}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x^{2}}{4}\right)^{n},
válido quando \left|\dfrac{x^{2}}{4}\right|<1, ou seja quando |x|<2. Multiplicando pelo fator -\dfrac{1}{4} que vimos antes:
f(x)=-\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x^{2}}{4}\right)^{n}.

Passo 5

Simplificando a soma para escrever na forma padrão de série de potências:
-\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x^{2}}{4}\right)^{n}=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{4^{\,n+1}}.
Observações úteis para a prova:
  • Os coeficientes dos termos com potência ímpar de x são 0, porque só aparecem potências pares x^{2n}.
  • Podemos escrever os coeficientes explicitamente: para n\ge 0,
a_{2n}=-\frac{1}{4^{\,n+1}},\qquad a_{2n+1}=0.
  • A série converge para |x|<2. Os pontos x=\pm 2 correspondem às singularidades da função (denominador zero), então a série não converge nesses pontos.

Passo 6

Para ficar mais concreto, os primeiros termos da série são:
f(x)=-\frac{1}{4}-\frac{x^{2}}{16}-\frac{x^{4}}{64}-\frac{x^{6}}{256}-\cdots
Se precisar verificar rapidamente na prova: multiplique (x^{2}-4) pela soma truncada e veja que os termos se cancelam, aproximando 1 conforme aumentamos o número de termos (é a verificação padrão da série geométrica).

Resposta

\boxed{\,\displaystyle \frac{1}{x^{2}-4}=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{4^{\,n+1}},\quad |x|<2\,}

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