Descreva, séries de potências, as seguintes funções: \quad f(x)=\ln \left(1-\frac{x}{4}\right) \quad centrada em c=0
Passo 1
O enunciado pede para escrever a função f(x)=\ln\!\left(1-\dfrac{x}{4}\right) como uma série de potências centrada em c=0.
Informações dadas e objetivo claros:
A função é f(x)=\ln\!\left(1-\dfrac{x}{4}\right).
A série deve ser centrada em 0 (expansão em potências de x).
É necessário também identificar o raio/intervalo de convergência da série (expliquei isso porque normalmente é pedido junto com a série).
Passo 2
Vamos lembrar um fato padrão que vamos usar: a série geométrica e sua integração. Para qualquer número real t com |t|<1 vale a expansão geométrica
\frac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n t^n.
Explicando devagar: o termo geral é (-1)^n t^n. Essa soma representa a função \dfrac{1}{1+t} quando |t|<1 porque a soma dos primeiros N termos é uma fração que aproxima a função e, ao deixar N\to\infty, converge para \dfrac{1}{1+t}.
Passo 3
Agora integramos essa igualdade em t, de 0 até um u qualquer com |u|<1. A razão para integrar é que a derivada de \ln(1+t) é \dfrac{1}{1+t}, então a integração vai nos dar a série de \ln(1+u). Integrando termo a termo (válido dentro do raio de convergência) obtemos
se tomarmos u=-\dfrac{x}{4}. Essa escolha é natural: escrevemos o argumento do log no formato 1+u. Como a série acima vale para |u|<1, temos a condição \left|-\dfrac{x}{4}\right|<1, ou seja |x|<4 (vou analisar os extremos depois).
Substituindo u=-\dfrac{x}{4} na série de \ln(1+u) obtemos
Agora o raio e intervalo de convergência. Da condição |u|<1 com u=-\dfrac{x}{4} segue o raio de convergência
R=4,
ou seja a série converge absolutamente para |x|<4.
Devemos testar os extremos x=4 e x=-4:
Para x=4: substituindo em \left(\dfrac{x}{4}\right)^n dá 1^n=1 e a série torna-se -\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}, que é a série harmônica negativa e diverge para -\infty. Além disso f(4)=\ln(1-1)=\ln 0 não está definida, então a série diverge em x=4.
Para x=-4: substituindo dá \left(\dfrac{x}{4}\right)^n=(-1)^n, então a soma é