Descreva, séries de potências, as seguintes funções:
f(x)=\frac{1}{x} \quad centrada em c=5

Passo 1

Dados do enunciado:
f(x)=\frac{1}{x},
centrada em c=5.
O que o exercício pede:
\text{Escrever }f(x)\text{ como uma série de potências centrada em }c=5\text{ (isto é, em potências de }(x-5)).éêéê
Informações relevantes que já temos:
f(x)\text{ está definida para }x\neq 0.á

Passo 2

Como vamos proceder (uma visão rápida antes de mergulhar nas contas): transformar \frac{1}{x} numa forma que pareça uma série geométrica, porque a série geométrica é a ferramenta mais direta para obter séries de potências simples. Não vou pular etapas — vou mostrar a transformação e explicar cada símbolo que eu introduzir.

Passo 3

Lembrete sobre a série geométrica (a “ferramenta”):
A série geométrica básica diz que, para uma variável u,
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^{n},
desde que
|u|<1.
O que isso significa na prática:
  • A expressão \frac{1}{1-u} é escrita em função de u.
  • A série \sum_{n=0}^{\infty}u^{n} converge exatamente quando o módulo de u é menor que 1.
  • A prova rápida (intuição) vem da soma da série geométrica finita e do limite quando o número de termos vai para infinito; não precisamos aqui do detalhe completo, só lembrar da condição |u|<1.

Passo 4

Vamos reescrever \frac{1}{x} de modo a obter algo parecido com \frac{1}{1-u}. Primeiro, escrevo x em função de 5 e da diferença (x-5):
x = 5 + (x-5).
Então
\frac{1}{x}=\frac{1}{5+(x-5)}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{1+\frac{x-5}{5}}.
Aqui eu defini uma nova variável auxiliar
u:=\frac{x-5}{5}.
Note que u mede a distância (relativa a 5) entre x e o centro 5. Substituindo na expressão:
\frac{1}{x}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{1+u}.

Passo 5

Aplicando a série geométrica: a fórmula que temos é \frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^\infty u^n. Para \frac{1}{1+u} basta observar que
\frac{1}{1+u}=\frac{1}{1-(-u)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-u)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n},
desde que |u|<1. Substituindo u=\dfrac{x-5}{5} e multiplicando pelo fator \dfrac{1}{5} que tínhamos:
\frac{1}{x}=\frac{1}{5}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{x-5}{5}\right)^{n}.
Agora simplifico a potência do denominador:
\frac{1}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(x-5)^{n}}{5^{\,n+1}}.

Passo 6

Interpretação dos coeficientes e primeiros termos (para você ver como fica “na prática”):
  • O coeficiente geral do termo (x-5)^{n} é (-1)^{n}5^{-(n+1)}.
  • Os primeiros termos da série são:
\frac{1}{x}=\frac{1}{5}-\frac{x-5}{5^{2}}+\frac{(x-5)^{2}}{5^{3}}-\frac{(x-5)^{3}}{5^{4}}+\cdots.
Isto é útil na prova: se pedirem um polinômio truncado, é só pegar os primeiros termos.

Passo 7

Convergência (raio e intervalo): a condição |u|<1 vira
\left|\frac{x-5}{5}\right|<1\quad\Longleftrightarrow\quad |x-5|<5.
Portanto o raio de convergência é
R=5,
e o intervalo (aberto) de convergência em termos de x é
(5-5,\;5+5)=(0,10).
Verificação rápida dos extremos:
  • Para x=0 temos u=-1; a série geométrica com razão -1 não converge (os somatórios oscilam), e além disso f(0) não está definida.
  • Para x=10 temos u=1; a série \sum(-1)^{n}1^{n} também não converge. Logo, os extremos x=0 e x=10 não pertencem ao intervalo de convergência.

Passo 8

Receita curta (para a prova) — o passo a passo que você deve usar quando virem algo parecido:
  1. Escreva x=c+(x-c) e tente fatorar o termo constante fora para obter \frac{1}{\text{const}}\cdot\frac{1}{1+\text{algo}} ou \frac{1}{\text{const}}\cdot\frac{1}{1-\text{algo}}.
  2. Identifique u como esse “algo” e aplique a série geométrica \frac{1}{1-u}=\sum u^{n} (ou a variação com -u).
  3. Volte a escrever o resultado em potências de (x-c) e determine a condição |u|<1 para achar o raio de convergência.

Resposta

\frac{1}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(x-5)^{n}}{5^{\,n+1}}
|x-5|<5\quad(\text{raio de convergência }R=5)ê

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