Descreva, séries de potências, as seguintes funções: f(x)=\frac{1}{x} \quad centrada em c=5
Passo 1
Dados do enunciado:
f(x)=\frac{1}{x},
centrada em c=5.
O que o exercício pede:
\text{Escrever }f(x)\text{ como uma série de potências centrada em }c=5\text{ (isto é, em potências de }(x-5)).
Informações relevantes que já temos:
f(x)\text{ está definida para }x\neq 0.
Passo 2
Como vamos proceder (uma visão rápida antes de mergulhar nas contas): transformar \frac{1}{x} numa forma que pareça uma série geométrica, porque a série geométrica é a ferramenta mais direta para obter séries de potências simples. Não vou pular etapas — vou mostrar a transformação e explicar cada símbolo que eu introduzir.
Passo 3
Lembrete sobre a série geométrica (a “ferramenta”):
A série geométrica básica diz que, para uma variável u,
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^{n},
desde que
|u|<1.
O que isso significa na prática:
A expressão \frac{1}{1-u} é escrita em função de u.
A série \sum_{n=0}^{\infty}u^{n} converge exatamente quando o módulo de u é menor que 1.
A prova rápida (intuição) vem da soma da série geométrica finita e do limite quando o número de termos vai para infinito; não precisamos aqui do detalhe completo, só lembrar da condição |u|<1.
Passo 4
Vamos reescrever \frac{1}{x} de modo a obter algo parecido com \frac{1}{1-u}. Primeiro, escrevo x em função de 5 e da diferença (x-5):
e o intervalo (aberto) de convergência em termos de x é
(5-5,\;5+5)=(0,10).
Verificação rápida dos extremos:
Para x=0 temos u=-1; a série geométrica com razão -1 não converge (os somatórios oscilam), e além disso f(0) não está definida.
Para x=10 temos u=1; a série \sum(-1)^{n}1^{n} também não converge. Logo, os extremos x=0 e x=10 não pertencem ao intervalo de convergência.
Passo 8
Receita curta (para a prova) — o passo a passo que você deve usar quando virem algo parecido:
Escreva x=c+(x-c) e tente fatorar o termo constante fora para obter \frac{1}{\text{const}}\cdot\frac{1}{1+\text{algo}} ou \frac{1}{\text{const}}\cdot\frac{1}{1-\text{algo}}.
Identifique u como esse “algo” e aplique a série geométrica \frac{1}{1-u}=\sum u^{n} (ou a variação com -u).
Volte a escrever o resultado em potências de (x-c) e determine a condição |u|<1 para achar o raio de convergência.