Exercício 4 - Uma reação de primeira ordem \mathrm{A} \rightarrow \\mathrm{B} deverá ser realizada em um PFR. A concentração inicial de A é de 3 moles / \mathrm{l}, a constante da taxa é de 0,23 \mathrm{~min}^{-1} e a vazão volumétrica de alimentação é de 101 / \mathrm{min}.
Qual seria o volume necessário para processar a reação se o reator utilizado fosse um CSTR?

Passo 1

O enunciado diz: uma reação de primeira ordem \mathrm{A}\rightarrow\mathrm{B} será realizada em um PFR. Dados fornecidos:
C_{A0}=3\\ \mathrm{mol/L},\qquad k=0,23\\ \mathrm{min}^{-1},\qquad q=101\\ \mathrm{L/min}.
A pergunta: “Qual seria o volume necessário para processar a reação se o reator utilizado fosse um CSTR?”\n
Informações que o enunciado NÃO fornece (e que são essenciais para calcular um volume de reator): a conversão desejada X (ou a concentração de saída C_A) ou, alternativamente, o volume do PFR que se quer igualar. Sem a conversão ou C_A não se pode obter um único valor numérico para o volume do CSTR.

Passo 2

Vou ensinar a teoria que precisamos para calcular o volume do CSTR e mostrar a fórmula que relaciona os dados do enunciado com o volume, passo a passo e sem pular etapas.\n
  1. Balanço de massa em regime estacionário para A em um CSTR (entrada, saída e reação dentro do reator):
F_{A0}-F_A + r_A V = 0,
onde F_{A0} é o fluxo molar de A na alimentação (mol/min), F_A é o fluxo molar de A na saída (mol/min), r_A é a taxa volumétrica de consumo de A (mol/(L·min)) e V é o volume do reator (L).\n
2) Relacionando fluxos com concentrações e vazão volumétrica: como a vazão volumétrica é q (L/min),
F_{A0}=q\,C_{A0},\qquad F_A=q\,C_A.
  1. Definição de conversão X:
X=\frac{C_{A0}-C_A}{C_{A0}}\quad\Rightarrow\quad C_A=C_{A0}(1-X).
  1. Para uma reação de primeira ordem a lei de velocidade volumétrica é
-r_A=k\,C_A,
onde k é a constante de velocidade (aqui k=0,23\\ \mathrm{min}^{-1}). Observação: -r_A é positivo e igual a k C_A.\n
5) Substituindo tudo no balanço:
qC_{A0}-qC_A + (-kC_A)V = 0.
Isolando o termo de consumo (ou usando equivalência direta), obtemos a forma prática do projeto:
qC_{A0}X = k C_A V.
Substituindo C_A=C_{A0}(1-X) na equação acima:
qC_{A0}X = k C_{A0}(1-X) V.
Cancelando C_{A0} (não nulo) vem a expressão final para o volume do CSTR em função da conversão X:
V = \frac{q\,X}{k(1-X)}.

Passo 3

Explicando a fórmula e unidades:
V=\frac{q\,X}{k(1-X)}
onde
  • V está em litros se q está em \mathrm{L/min} e k em \mathrm{min}^{-1};
  • q é a vazão volumétrica (aqui q=101\\ \mathrm{L/min});
  • k é a constante de primeira ordem (aqui k=0,23\\ \mathrm{min}^{-1});
  • X é a conversão desejada (número adimensional entre 0 e 1).\n
    Portanto, para obter um número para V precisamos que alguém fixe X. Sem isso, só temos a relação acima.

Passo 4

Para te dar uma intuição prática — já que às vezes na prova pedem calcular para conversões típicas — vou mostrar três exemplos numéricos usando a fórmula (a conta é simples e dá para fazer sem calculadora se você souber aproximações, mas eu mostro com valores arredondados): usamos q=101\\ \mathrm{L/min} e k=0,23\\ \mathrm{min}^{-1}.\n
  • Se X=0,5 (50% de conversão):
V=\frac{101\cdot 0,5}{0,23(1-0,5)}=\frac{101\cdot 0,5}{0,23\cdot 0,5}=\frac{101}{0,23}\approx 439,13\\ \mathrm{L}.
  • Se X=0,9 (90% de conversão):
V=\frac{101\cdot 0,9}{0,23(1-0,9)}=\frac{101\cdot 0,9}{0,23\cdot 0,1}=9\cdot\frac{101}{0,23}\approx 3952,17\\ \mathrm{L}.
  • Se X=0,99 (99% de conversão):
V=\frac{101\cdot 0,99}{0,23(1-0,99)}=99\cdot\frac{101}{0,23}\approx 43473,91\\ \mathrm{L}.
Esses exemplos mostram que, à medida que X se aproxima de 1, o volume do CSTR cresce muito (isso é uma propriedade importante: para altas conversões, CSTRs ficam muito grandes para reações de ordem 1).

Passo 5

Resumo prático e orientação para a prova: se na prova pedirem o volume do CSTR você deve primeiro procurar (no enunciado) a conversão desejada X ou a concentração de saída C_A. Se essa informação estiver lá, use
V=\frac{q\,X}{k(1-X)}
substituindo os números dados. Se não estiver, explique que o problema está incompleto e apresente a fórmula acima ou os volumes para conversões típicas (50%, 90%, 99%) como fiz aqui — isso costuma ganhar pontos porque mostra que você sabe o procedimento e entende a dependência com X.

Resposta

Não é possível determinar um único valor para o volume porque o enunciado não informa a conversão desejada X. A expressão do volume do CSTR é V=\dfrac{q\,X}{k(1-X)}, com q=101\\ \mathrm{L/min} e k=0,23\\ \mathrm{min}^{-1}; por exemplo, para X=0,5 V\approx 439,13\\ \mathrm{L}, para X=0,9 V\approx 3952,17\\ \mathrm{L}.

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