Descreva o sólido
do
, cujo volume é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descrever o sólido
no espaço tridimensional
cujo volume é dado por um integral triplo. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos analisar os limites de integração para cada variável (
,
,
) e entender como eles definem o sólido
.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a ordem das integrações no integral triplo:
Aqui, a integração é feita primeiro em
, depois em
, e por último em
. Isso significa que para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de
até
, e para cada par
,
varia de 2 a 3.
Passo 3
Vamos definir cada intervalo:
- Para
: varia de 0 a 1. - Para
: depende de , variando de até . - Para
: é constante, variando de 2 a 3, independentemente de e .
Isso significa que, ao fixarmos um valor de
,
está limitado pelas funções
e
. E para cada combinação de
e
,
está simplesmente entre 2 e 3.
Passo 4
Agora, vamos entender o que essas funções representam geometricamente:
- As funções
e definem limites para que dependem de . Graficamente, para cada , está entre a raiz quadrada de e a raiz quadrada de . - Como
varia apenas entre 2 e 3, isso significa que o sólido tem uma “espessura” constante no eixo .
Portanto,
é um “paralelepípedo” alongado no eixo
, onde para cada fatia em
, a área em
está delimitada pelas duas funções de raiz quadrada mencionadas.
Resposta
O sólido
é o conjunto de todos os pontos
em
onde:
Isso significa que
é um paralelepípedo com
variando de 2 a 3,
de 0 a 1, e para cada
,
está entre
e
.