Descreva o sólido Omega do R^3, cujo volume é:
integral0^1 integralraiz1-z^raiz4-z integral2^3 d x d y d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descrever o sólido Omega no espaço tridimensional R^3 cujo volume é dado por um integral triplo. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos analisar os limites de integração para cada variável ( x, y, z) e entender como eles definem o sólido Omega.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a ordem das integrações no integral triplo:
integral0^1 integralraiz1-z^raiz4-z integral2^3 dx , dy , dz
Aqui, a integração é feita primeiro em x, depois em y, e por último em z. Isso significa que para cada valor de z entre 0 e 1, y varia de raiz1 - z até raiz4 - z, e para cada par (y, z), x varia de 2 a 3.

Passo 3

Vamos definir cada intervalo:
  • Para z: varia de 0 a 1.
  • Para y: depende de z, variando de raiz1 - z até raiz4 - z.
  • Para x: é constante, variando de 2 a 3, independentemente de y e z.
Isso significa que, ao fixarmos um valor de z, y está limitado pelas funções raiz1 - z e raiz4 - z. E para cada combinação de y e z, x está simplesmente entre 2 e 3.

Passo 4

Agora, vamos entender o que essas funções representam geometricamente:
  • As funções raiz1 - z e raiz4 - z definem limites para y que dependem de z. Graficamente, para cada z, y está entre a raiz quadrada de 1 - z e a raiz quadrada de 4 - z.
  • Como x varia apenas entre 2 e 3, isso significa que o sólido Omega tem uma “espessura” constante no eixo x.
Portanto, Omega é um “paralelepípedo” alongado no eixo x, onde para cada fatia em z, a área em y está delimitada pelas duas funções de raiz quadrada mencionadas.

Resposta

O sólido Omega é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) em R^3 onde:
2 <= x <= 3, 0 <= z <= 1, raiz1 - z <= y <= raiz4 - z
Isso significa que Omega é um paralelepípedo com x variando de 2 a 3, z de 0 a 1, e para cada z, y está entre raiz1 - z e raiz4 - z.

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