Escreva cada uma das integrais abaixo na ordem d z d y d x:
integral0^1 integral0^1-z integral0^raiz(z-1)^2-y^2 f(x, y, z) d x d y d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral tripla, que envolve três variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $. O enunciado pede para reescrever essa integral na ordem $ dz , dy , dx $. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente de integração múltipla. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e ajustar os limites de integração de acordo com a nova ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração original. A integral dada é:
integral0^1 integral0^1-z integral0^raiz(z-1)^2-y^2 f(x, y, z) , dx , dy , dz
Aqui, $ z $ varia de 0 a 1, $ y $ varia de 0 a $ 1 - z $, e $ x $ varia de 0 a $ \sqrt{(z-1){2}-y{2}} $. Vamos visualizar isso no espaço tridimensional para entender melhor os limites.

Passo 3

Para mudar a ordem da integração para $ dz , dy , dx $, precisamos determinar, para cada $ x $, quais são os valores possíveis de $ y $ e, para cada par $ (x, y) $, quais são os valores possíveis de $ z $.
Primeiro, vamos encontrar os limites de $ x $. Observando que $ x $ varia de 0 a $ \sqrt{(z-1){2}-y{2}} $, o máximo de $ x $ ocorre quando $ y = 0 $ e $ z = 0 $, ou seja, $ x $ varia de 0 a 1.

Passo 4

Agora, para um valor fixo de $ x $, precisamos encontrar os limites de $ y $. Da expressão $ x \leq \sqrt{(z-1){2}-y{2}} $, podemos isolar $ y $:
x
Mas também sabemos que, originalmente, $ y $ varia de 0 a $ 1 - z $. Portanto, para cada $ x $, $ y $ varia de 0 a $ \sqrt{(z-1)^{2} - x^{2}} $.

Passo 5

Finalmente, para determinar os limites de $ z $, precisamos expressar $ z $ em termos de $ x $ e $ y $. Da condição $ y \leq 1 - z $, podemos reescrever como $ z \leq 1 - y $. Além disso, a expressão dentro da raiz exige que $ (z - 1)^2 \geq x^2 + y^2 $, o que implica que $ z $ varia de $ 1 - \sqrt{x^2 + y^2} $ a 1.

Passo 6

Resumindo tudo, os novos limites de integração na ordem $ dz , dy , dx $ são:
  • $ x $ varia de 0 a 1,
  • Para cada $ x $, $ y $ varia de 0 a $ \sqrt{1 - x^2} $,
  • Para cada $ (x, y) $, $ z $ varia de $ 1 - \sqrt{1 - x^2} $ a 1.

Resposta

Assim, a integral na ordem $ dz , dy , dx $ fica:
dz , dy , dx

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