Escreva cada uma das integrais abaixo na ordem
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral tripla, que envolve três variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $. O enunciado pede para reescrever essa integral na ordem $ dz , dy , dx $. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente de integração múltipla. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e ajustar os limites de integração de acordo com a nova ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração original. A integral dada é:
Aqui, $ z $ varia de 0 a 1, $ y $ varia de 0 a $ 1 - z $, e $ x $ varia de 0 a $ \sqrt{(z-1){2}-y{2}} $. Vamos visualizar isso no espaço tridimensional para entender melhor os limites.
Passo 3
Para mudar a ordem da integração para $ dz , dy , dx $, precisamos determinar, para cada $ x $, quais são os valores possíveis de $ y $ e, para cada par $ (x, y) $, quais são os valores possíveis de $ z $.
Primeiro, vamos encontrar os limites de $ x $. Observando que $ x $ varia de 0 a $ \sqrt{(z-1){2}-y{2}} $, o máximo de $ x $ ocorre quando $ y = 0 $ e $ z = 0 $, ou seja, $ x $ varia de 0 a 1.
Passo 4
Agora, para um valor fixo de $ x $, precisamos encontrar os limites de $ y $. Da expressão $ x \leq \sqrt{(z-1){2}-y{2}} $, podemos isolar $ y $:
Mas também sabemos que, originalmente, $ y $ varia de 0 a $ 1 - z $. Portanto, para cada $ x $, $ y $ varia de 0 a $ \sqrt{(z-1)^{2} - x^{2}} $.
Passo 5
Finalmente, para determinar os limites de $ z $, precisamos expressar $ z $ em termos de $ x $ e $ y $. Da condição $ y \leq 1 - z $, podemos reescrever como $ z \leq 1 - y $. Além disso, a expressão dentro da raiz exige que $ (z - 1)^2 \geq x^2 + y^2 $, o que implica que $ z $ varia de $ 1 - \sqrt{x^2 + y^2} $ a 1.
Passo 6
Resumindo tudo, os novos limites de integração na ordem $ dz , dy , dx $ são:
- $ x $ varia de 0 a 1,
- Para cada $ x $, $ y $ varia de 0 a $ \sqrt{1 - x^2} $,
- Para cada $ (x, y) $, $ z $ varia de $ 1 - \sqrt{1 - x^2} $ a 1.
Resposta
Assim, a integral na ordem $ dz , dy , dx $ fica: