Descreva o sólido Omega do R^3, cujo volume é:
integral0^1 integralz^3^raizz integral0^4-x d y d x d z

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido Omega no espaço tridimensional R^3 cujo volume é dado por uma integral tripla:
integral0^1 integralz^3^raizz integral0^4-x dy , dx , dz
O conteúdo envolvido aqui é cálculo multivariável, especificamente o cálculo de integrais triplas para determinar volumes de sólidos. Para resolver isso, vamos analisar os limites de integração para identificar as restrições em x, y e z, e assim descrever o sólido Omega.

Passo 2

Vamos começar observando o limite mais externo da integral, que é em relação a z, variando de 0 a 1:
0 <= z <= 1
Isso significa que o sólido se estende verticalmente entre z = 0 e z = 1.

Passo 3

Em seguida, olhamos para o segundo limite, que é em relação a x, variando de z^3 a raizz:
z^3 <= x <= raizz
Aqui, para cada valor de z entre 0 e 1, x varia de z^3 até raizz. Isso define uma faixa de x que depende do valor de z.

Passo 4

Finalmente, analisamos o limite mais interno, que é em relação a y, variando de 0 a 4 - x:
0 <= y <= 4 - x
Isso indica que, para cada par (x, z) dentro dos limites anteriores, y varia de 0 até 4 - x.

Passo 5

Agora, vamos traduzir esses limites em desigualdades que descrevem o sólido Omega:
0 <= z <= 1
z^3 <= x <= raizz
0 <= y <= 4 - x
Isso significa que o sólido Omega é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) no espaço tridimensional que satisfazem essas três desigualdades simultaneamente.

Resposta

O sólido Omega no R^3 é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) que satisfazem:
0 <= z <= 1, z^3 <= x <= raizz, e 0 <= y <= 4 - x

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