Escreva cada uma das integrais abaixo na ordem
:
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos uma integral tripla dada por
O conteúdo da matéria envolve mudança de ordem de integração em integrais múltiplas. Para resolver, vamos reescrever os limites de integração para a ordem $ dz , dy , dx $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. As condições dadas são:
Isso define um tetraedro no espaço onde $ x + y + z \leq 1 $.
Passo 3
Para mudar a ordem para $ dz , dy , dx $, precisamos expressar os limites de $ z $, $ y $ em função de $ x $.
Primeiro, para um valor fixo de $ x $, $ y + z $ deve ser menor ou igual a $ 1 - x $. Assim:
Passo 4
Agora, para cada $ y $, $ z $ varia de 0 até $ 1 - x - y $:
Passo 5
Por fim, $ x $ varia de 0 a 1:
Resposta
A integral reescrita na ordem $ dz , dy , dx $ fica: