Descreva o sólido Omega do R^3, cujo volume é:
integral0^2 integralx^2^2 x integral0^x+y d z d y d x

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente descrever o sólido Omega no espaço tridimensional R^3 que está definido pelo volume da integral tripla:
integral0^2 integralx^2^2 x integral0^x+y dz , dy , dx
Isso envolve trabalhar com integrais triplas e entender os limites de integração para x, y e z. Vamos precisar interpretar esses limites para visualizar o sólido que estamos descrevendo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração para cada variável começando por x. O limite externo é de 0 a 2, ou seja:
0 <= x <= 2
Isso nos diz que x varia de 0 a 2 no nosso sólido.

Passo 3

Agora, olhando para o segundo integral, que é em relação a y, os limites são de x^2 a 2x:
x^2 <= y <= 2x
Isso significa que para cada valor de x entre 0 e 2, y varia de x^2 até 2x. Vamos entender isso no plano xy.

Passo 4

No plano xy, as curvas y = x^2 e y = 2x se encontram em x = 0 e x = 2. Entre esses valores de x, y está limitado entre a parábola y = x^2 e a reta y = 2x. Isso forma uma região bidimensional na base do nosso sólido.

Passo 5

Finalmente, o limite mais interno é em relação a z, indo de 0 até x + y:
0 <= z <= x + y
Para cada ponto (x, y) na região que definimos, z varia de 0 até a soma de x + y. Isso define a altura do sólido acima da base no plano xy.

Resposta

Portanto, o sólido Omega no R^3 é descrito pelas seguintes condições:
0 <= x <= 2, x^2 <= y <= 2x, 0 <= z <= x + y
Ele é formado pela região no espaço onde x varia de 0 a 2, y está entre a parábola y = x^2 e a reta y = 2x, e z se estende de 0 até a superfície z = x + y.

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