Descreva o sólido Omega do R^3, cujo volume é:
integral0^1 integral0^3 x integral0^1 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descrever o sólido Omega no espaço tridimensional R^3, cujo volume é dado pela integral tripla:
integral0^1 integral0^3 x integral0^1 dz , dy , dx
Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais múltiplas que ajudam a determinar volumes de sólidos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as variáveis de integração e seus limites. Olhando para a integral, temos três integrais: em x, y e z. Cada uma delas vai de um limite inferior a um limite superior.
  • Integral em x: de 0 a 1
  • Integral em y: de 0 a 3x
  • Integral em z: de 0 a 1

Passo 3

Vamos interpretar cada uma dessas integrais:
  1. Para x: x varia de 0 a 1. Isso significa que o sólido se estende ao longo do eixo x de 0 a 1.
  2. Para y: y varia de 0 a 3x. Aqui, o limite superior de y depende de x. Isso indica que, para cada valor de x, o valor de y vai de 0 até três vezes o valor de x. Geometricamente, isso forma uma região triangular no plano xy.
  3. Para z: z varia de 0 a 1. Isso mostra que o sólido tem uma altura constante de 1 ao longo do eixo z.

Passo 4

Agora, vamos descrever o sólido Omega com base nessas informações:
  • Extensão em x: de 0 a 1.
  • Extensão em y: para cada x, y vai de 0 a 3x.
  • Extensão em z: de 0 a 1, independente de x e y.
Isso significa que o sólido é formado por todas as combinações de (x, y, z) que satisfazem:
0 <= x <= 1, 0 <= y <= 3x, 0 <= z <= 1

Resposta

O sólido Omega é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) em R^3 onde x varia de 0 a 1, y varia de 0 a 3x, e z varia de 0 a 1. Ou seja,
Omega = , (x, y, z) in R^3 mid 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 3x, 0 <= z <= 1 ,

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