Descreva o sólido
do
, cujo volume é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descrever o sólido
no espaço tridimensional
, cujo volume é dado pela integral tripla:
Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais múltiplas que ajudam a determinar volumes de sólidos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as variáveis de integração e seus limites. Olhando para a integral, temos três integrais: em
,
e
. Cada uma delas vai de um limite inferior a um limite superior.
- Integral em
: de a - Integral em
: de a - Integral em
: de a
Passo 3
Vamos interpretar cada uma dessas integrais:
-
Para
: varia de a . Isso significa que o sólido se estende ao longo do eixo de a . -
Para
: varia de a . Aqui, o limite superior de depende de . Isso indica que, para cada valor de , o valor de vai de até três vezes o valor de . Geometricamente, isso forma uma região triangular no plano . -
Para
: varia de a . Isso mostra que o sólido tem uma altura constante de ao longo do eixo .
Passo 4
Agora, vamos descrever o sólido
com base nessas informações:
- Extensão em
: de a . - Extensão em
: para cada , vai de a . - Extensão em
: de a , independente de e .
Isso significa que o sólido é formado por todas as combinações de
que satisfazem:
Resposta
O sólido
é o conjunto de todos os pontos
em
onde
varia de
a
,
varia de
a
, e
varia de
a
. Ou seja,