Descreva o sólido Omega do R^3, cujo volume é:
integral1^4 integral-z^z integral-raizz^2-y^2^raizz^2-y^2 d x d y d z

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado: temos que descrever o sólido Omega no espaço tridimensional R^3, e o volume desse sólido é dado pela integral tripla:
integral1^4 integral-z^z integral-raizz^2-y^2^raizz^2-y^2 dx , dy , dz
Aqui, a matéria que estamos lidando é o cálculo de integrais múltiplas para descrever volumes de sólidos no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites das integrais definem as fronteiras do sólido Omega.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite mais externo da integral, que é em relação a z. Vemos que z varia de 1 a 4:
1 <= z <= 4
Isso significa que o sólido Omega está “altura” entre z = 1 e z = 4 no eixo z.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o próximo limite, que é em relação a y. Para cada valor de z, y varia de -z a z:
-z <= y <= z
Isso indica que, para cada “altura” z, y pode ir de -z a z, formando uma faixa que se alarga conforme z aumenta.

Passo 4

Por último, temos o limite mais interno, que é em relação a x. Para cada par de valores z e y, x varia de -raizz^2-y^2 a raizz^2-y^2:
-raizz^2 - y^2 <= x <= raizz^2 - y^2
Essa expressão representa uma circunferência no plano x- y para cada z, com raio raizz^2 - y^2. Isso significa que, para cada z e y, x está limitado dentro de um círculo de raio raizz^2 - y^2.

Passo 5

Juntando tudo, o sólido Omega é definido por:
1 <= z <= 4, -z <= y <= z, -raizz^2 - y^2 <= x <= raizz^2 - y^2
Visualmente, isso descreve um sólido que se estende verticalmente de z = 1 a z = 4, com limites laterais que formam cilindros circulares para cada camada de z. A faixa de y se expande linearly com z, e x está restrito dentro dos círculos definidos por y e z.

Resposta

O sólido Omega é o conjunto de pontos no espaço tridimensional tais que 1 <= z <= 4, -z <= y <= z e -raizz^2 - y^2 <= x <= raizz^2 - y^2. Geometricamente, é um sólido que se estende verticalmente de z = 1 a z = 4, com cada camada z formando um círculo no plano x- y de raio raizz^2 - y^2.

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