Em cada caso, identifique o sólido
e calcule seu volume por integração tripla.
é delimitado pelos cilindros
e
e pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que identificar o sólido
que é limitado pelos cilindros
e
, e pelos planos
e
. Nosso objetivo é calcular o volume desse sólido usando integração tripla. Para isso, vamos precisar entender os limites de integração para cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a região no plano
onde os cilindros
e
se intersectam. Igualando as duas equações:
Então,
varia de
a
. Para cada valor de
,
varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para
. O plano inferior é
e o plano superior é
. Então, para cada ponto
na região que encontramos,
varia de
a
.
Passo 4
Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para calcular o volume:
Começamos integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos agora integrar em relação a
:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Parece que tem um erro aqui! Vamos recalcular:
Na verdade, ao integrar cada termo separadamente:
Resposta
O volume do sólido
é 16 unidades cúbicas.