Em cada caso, identifique o sólido Omega e calcule seu volume por integração tripla.
Omega é delimitado pelos cilindros x=y^2 e y^2=2-x e pelos planos z=5+x+y e z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que identificar o sólido Omega que é limitado pelos cilindros x = y^2 e y^2 = 2 - x, e pelos planos z = 5 + x + y e z = 0. Nosso objetivo é calcular o volume desse sólido usando integração tripla. Para isso, vamos precisar entender os limites de integração para cada uma das variáveis x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região no plano xy onde os cilindros x = y^2 e y^2 = 2 - x se intersectam. Igualando as duas equações:
y^2 = 2 - y^2 2y^2 = 2 y^2 = 1 y = pm1
Então, y varia de -1 a 1. Para cada valor de y, x varia de y^2 a 2 - y^2.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para z. O plano inferior é z = 0 e o plano superior é z = 5 + x + y. Então, para cada ponto (x, y) na região que encontramos, z varia de 0 a 5 + x + y.

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para calcular o volume:
V = integraly=-1^1 integralx=y^2^2 - y^2 integralz=0^5 + x + y dz , dx , dy
Começamos integrando em relação a z:
integral0^5 + x + y dz = 5 + x + y
Então, a integral fica:
V = integral-1^1 integraly^2^2 - y^2 (5 + x + y) , dx , dy

Passo 5

Vamos agora integrar em relação a x:
integraly^2^2 - y^2 (5 + x + y) , dx = integraly^2^2 - y^2 5 , dx + integraly^2^2 - y^2 x , dx + integraly^2^2 - y^2 y , dx
Calculando cada parte:
5 cdot [(2 - y^2) - y^2] = 5(2 - 2y^2) = 10 - 10y^2 12[(2 - y^2)^2 - (y^2)^2] = 12(4 - 4y^2) = 2 - 2y^2 y cdot [(2 - y^2) - y^2] = y(2 - 2y^2) = 2y - 2y^3
Somando tudo:
12 - 12y^2 + 2y - 2y^3

Passo 6

Agora, integramos em relação a y:
V = integral-1^1 (12 - 12y^2 + 2y - 2y^3) , dy = [12y - 4y^3 + y^2 - 12y^4]-1^1 = (12(1) - 4(1) + 1 - 12(1)) - (12(-1) - 4(-1) + 1 - 12(-1)) = (12 - 4 + 1 - 0.5) - (-12 + 4 + 1 + 0.5) = 8.5 - (-6.5) = 15
Parece que tem um erro aqui! Vamos recalcular:
Na verdade, ao integrar cada termo separadamente:
integral-1^1 12 , dy = 24 integral-1^1 -12y^2 , dy = -8 integral-1^1 2y , dy = 0 integral-1^1 -2y^3 , dy = 0 Total: 24 - 8 + 0 + 0 = 16

Resposta

O volume do sólido Omega é 16 unidades cúbicas.

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