Descreva a superfície dada em coordenadas esféricas por
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente descrever a superfície em ℝ³ dada, em coordenadas esféricas, pela equação
. O assunto é geometria de superfícies em coordenadas esféricas e precisaremos lembrar de como se relacionam as coordenadas esféricas
com as cartesianas e da condição física de
.
Passo 2
Primeiro, como
é a distância ao ponto
, a equação só faz sentido quando
. Daí
e, lembrando que
Passo 3
Com isso a superfície se separa em duas ‘‘folhas’’: uma para
(parte acima do plano
) e outra para
(parte abaixo).
Em coordenadas cartesianas ela se parametriza por
Em coordenadas cartesianas ela se parametriza por
Passo 4
Geometricamente, é uma superfície de revolução em torno do eixo
, formada por dois ‘‘capuzes’’ que vão do polo
até se fecharem no vértice
(a origem) quando
e
.
Resposta
A superfície é o conjunto de duas folhas simétricas ao plano
, obtidas ao girar a curva
,
(folha superior) e
(folha inferior), em torno do eixo
. Em coordenadas cartesianas ela se dá por
com