Descreva a superfície dada em coordenadas esféricas por rho=cos 2 theta.

Passo 1

O enunciado pede pra gente descrever a superfície em ℝ³ dada, em coordenadas esféricas, pela equação rho = cos 2theta. O assunto é geometria de superfícies em coordenadas esféricas e precisaremos lembrar de como se relacionam as coordenadas esféricas (rho,theta,varphi) com as cartesianas e da condição física de rho>=0.

Passo 2

Primeiro, como rho é a distância ao ponto (x,y,z), a equação só faz sentido quando cos2theta>=0. Daí
cos2theta>=0Longrightarrow2thetain[-tfracpi2,tfracpi2]cup[tfrac3pi2,tfrac5pi2]
e, lembrando que thetain[0,pi], obtemos
thetain[0,tfracpi4];cup;[tfrac3pi4,pi]

Passo 3

Com isso a superfície se separa em duas ‘‘folhas’’: uma para thetain[0,pi/4] (parte acima do plano z=0) e outra para thetain[3pi/4,pi] (parte abaixo).
Em coordenadas cartesianas ela se parametriza por
x=rhosinthetacosvarphi=cos2theta,sinthetacosvarphi, y=cos2theta,sinthetasinvarphi, z=cos2theta,costheta, thetain[0,tfracpi4]cup[tfrac3pi4,pi],varphiin[0,2pi]

Passo 4

Geometricamente, é uma superfície de revolução em torno do eixo z, formada por dois ‘‘capuzes’’ que vão do polo z=pm1 até se fecharem no vértice rho=0 (a origem) quando theta=pi/4 e 3pi/4.

Resposta

A superfície é o conjunto de duas folhas simétricas ao plano z=0, obtidas ao girar a curva rho=cos2theta, thetain[0,pi/4] (folha superior) e thetain[3pi/4,pi] (folha inferior), em torno do eixo z. Em coordenadas cartesianas ela se dá por
x=cos2thetasinthetacosvarphi, y=cos2thetasinthetasinvarphi, z=cos2thetacostheta,
com thetain[0,pi/4]cup[3pi/4,pi] e varphiin[0,2pi].

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