Prove que se
observando que, quando
, o lado esquerdo da expressão acima representa
.
Passo 1
Nesse exercício a gente quer calcular a transformada inversa de Laplace de
que é dada pelo integral de Bromwich
Essa é a nossa missão para achar f(t).
Passo 2
Para fazer a inversão, usamos decomposição em frações parciais. Note que
Assumimos então
Multiplicando ambos os lados por
obtemos uma identidade em s.
Passo 3
Primeiro, achamos B e D avaliando em s=i e s=–i. Em s=i vem
e em s=-i vem
Passo 4
Para A e C, derivamos a identidade anterior em s e depois avaliamos em s=i e s=-i. Isso leva a
Logo a decomposição parcial final é
Passo 5
Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo. Sabendo
para t\ge0 obtemos
Passo 6
Por fim, reagrupamos exponenciais em seno e cosseno:
Então para t\ge0
e para t<0 o integral de Bromwich vale zero.
Passo 7
Pronto! Chegamos à expressão da transformada inversa.
Resposta
f(t)=