Prove que se gamma>0
12 pi j integralgamma-j infty^gamma+j infty e^z t(z^2+1)^2 d z= 12 sen t+12 t cos t, & t >= 0 0, & t<0
observando que, quando , o lado esquerdo da expressão acima representa .

Passo 1

Nesse exercício a gente quer calcular a transformada inversa de Laplace de
F(s)=1(s^2+1)^2
que é dada pelo integral de Bromwich
f(t)=12pi jintegralgamma-jinfty^gamma+jinftye^st(s^2+1)^2,ds
Essa é a nossa missão para achar f(t).

Passo 2

Para fazer a inversão, usamos decomposição em frações parciais. Note que
1(s^2+1)^2=1(s-i)^2(s+i)^2
Assumimos então
1(s-i)^2(s+i)^2=As-i+B(s-i)^2+Cs+i+D(s+i)^2
Multiplicando ambos os lados por (s-i)^2(s+i)^2 obtemos uma identidade em s.

Passo 3

Primeiro, achamos B e D avaliando em s=i e s=–i. Em s=i vem
1=B,(2i)^2implies B=-tfrac14,
e em s=-i vem
1=D,(-2i)^2implies D=-tfrac14

Passo 4

Para A e C, derivamos a identidade anterior em s e depois avaliamos em s=i e s=-i. Isso leva a
A=-tfraci4,
C=tfraci4
Logo a decomposição parcial final é
1(s^2+1)^2=-tfraci41s-i-tfrac141(s-i)^2+tfraci41s+i-tfrac141(s+i)^2

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo. Sabendo
L^-1tfrac1spm i=e^pm i t,
L^-1tfrac1(spm i)^2=t,e^pm i t,
para t\ge0 obtemos
f(t)=-tfraci4e^it-tfrac14t e^it+tfraci4e^-it-tfrac14t e^-it

Passo 6

Por fim, reagrupamos exponenciais em seno e cosseno:
-tfraci4e^it+tfraci4e^-it=tfrac12sin t,
-tfrac14t(e^it+e^-it)=-tfrac12,tcos t
Então para t\ge0
f(t)=tfrac12sin t-tfrac12,tcos t,
e para t<0 o integral de Bromwich vale zero.

Passo 7

Pronto! Chegamos à expressão da transformada inversa.

Resposta

f(t)= tfrac12sin t-tfrac12,tcos t,&t>=0,0,&t<0

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