Descreva as superfícies equipotenciais para:
uma esfera uniformemente carregada.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente “descrever as superfícies equipotenciais de uma esfera uniformemente carregada”. Isso é eletrostática: vamos usar Lei de Gauss pra achar o campo elétrico dentro e fora da esfera, depois integrar esse campo pra obter o potencial . Com em mãos, a gente vê que formas espaciais têm o mesmo valor de – essas são as equipotenciais.

Passo 2

Calcular o campo elétrico por simetria esférica usando a Lei de Gauss.
  1. Para E(r),4pi r^2 = Qvarepsilon0 Longrightarrow E(r) = 14pivarepsilon0,Qr^2;hat r (fora da esfera de raio E(r),4pi r^2 = rho,tfrac43pi r^3varepsilon0 Longrightarrow E(r) = 14pivarepsilon0,QR^3,r;hat r e carga total ):
  2. Para (dentro da esfera, com densidade ):

Passo 3

Integrar V(r) = -integralinfty^r E(r'),dr' = 14pivarepsilon0,Qr em radial pra achar V(r) = V(R) - integralR^r E(r'),dr' = 14pivarepsilon0,QR - integralR^r14pivarepsilon0QR^3r',dr' , com a condição V(r) = 14pivarepsilon0QR - 14pivarepsilon0QR^3,r^2-R^22 = 14pivarepsilon0Q2R l(3 - r^2R^2r) .
  1. Para :
  2. Para : Calculando a integral:

Passo 4

O que é uma superfície equipotencial? É o conjunto de pontos onde tem o mesmo valor. Viu que depende só de ? Então cada esfera de raio constante tem potencial fixo. Logo:
  • Para , as equipotenciais são esferas concêntricas com a esfera carregada, com .
  • Para , as equipotenciais também são esferas concêntricas, só que com .
Em qualquer caso, a geometria é a mesma: esferas concêntricas ao objeto carregado.

Resposta

As superfícies equipotenciais de uma esfera uniformemente carregada são esferas concêntricas à carga, definidas pelos raios (tanto para dentro quanto para fora), em que o potencial é constante:
  • Para : .
  • Para : .

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